Учебные материалы для выполнения
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
Основные формулы
· Закон Кулона
где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и Q2; r – расстояние между зарядами; e - диэлектрическая проницаемость среды; e0 – диэлектрическая постоянная:
· Закон сохранения заряда
где - алгебраическая сумма зарядов, входящих в изолированную систему; n – число зарядов.
• Напряженность электрического поля
Е = F/q,
где F— сила, действующая на точечный положительный заряд q, помещенный в данную точку поля.
• Поток вектора напряженности Е электрического поля:
а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,
где а — угол между вектором напряженности Е и нормалью п к элементу поверхности; dS — площадь элемента поверхности; Еп — проекция вектора напряженности на нормаль;
б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле,
ФЕ=EScosa.
• Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверхность
где интегрирование ведется по всей поверхности.
• Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора напряженности Е через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды q1, q2,…, qn,
где — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри
замкнутой поверхности; п — число зарядов.
• Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии rот заряда,
• Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r отцентра сферы:
а) внутри сферы (г < R)
Е=0;
б) на поверхности сферы (г = R)
в) вне сферы (г > R)
• Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей:
Е= Е1+Е2+…+ Еп.
В случае двух электрических полей с напряженностями Е1 и Е2 модуль вектора напряженности
где а — угол между векторами Е1 и Е2.
• Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от ее оси,
где t — линейная плотность заряда.
Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по нити, к длине нити (цилиндра):
• Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,
где s — поверхностная плотность заряда.
Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности:
• Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями с одинаковой по модулю поверхностной плотностью s заряда (поле плоского конденсатора)
Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.
• Электрическое смещение Dсвязано с напряженностьюЕэлектрического поля соотношением
Это соотношение справедливо только для изотропных диэлектриков.
• Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть величина, численно равная работе по перемещению единичного положительного точечного заряда вдоль замкнутого контура. Циркуляция выражается интегралом по замкнутому контуру где — проекция вектора напряженности Е в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке.
В случае электростатического поля циркуляция вектора напряженности равна нулю:
• Потенциал электрического поля - величина равная отношению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенную в данную точку поля, к этому заряду:
j= П/q,
1. или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к этому заряду:
j = A/q.
2. Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.
Отметим, что при перемещении заряда в электрическом поле работа АВС внешних сил равна по модулю работе АСП сил поля и противоположна ей по знаку:
АВС= - АСП.
• Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом q на расстоянии г от заряда,
• Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей заряд q сферой радиусом R, на расстоянии r от центра сферы:
внутри сферы (r < R) ;
на поверхности сферы (r = R) ;
вне сферы (r > R)
Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах e есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.
• Потенциал электрического поля, созданного системой точечных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов j1, j2,…, jn, создаваемых отдельными точечными зарядами q1, q2,…, qn:
• Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов q1, q2,…, qn определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой
где ji — потенциал поля, создаваемого всеми n - 1 зарядами (за исключением i-го) в точке, где расположен заряд qi.
• Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением
Е = - gradj.
В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой
или в скалярной форме
а в случае однородного поля, т.е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по модулю, так и по направлению,
E = (j1 - j2 )/d,
где j1 и j2 — потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d — расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.
• Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал j1, в другую, имеющую потенциал j2,
или
где El — проекция вектора напряженности Ена направление перемещения; dl — перемещение.
В случае однородного поля последняя формула принимает вид
А = qE.l cos a,
где l— перемещение; a — угол между направлениями вектора Еи перемещения l.
• Электрическая емкость уединенного проводника или конденсатора
С =Dq /Dj
где Dq — заряд, сообщенный проводнику (конденсатору); Dj — изменение потенциала, вызванное этим зарядом.
• Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью e,
Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее от этого не изменяется.
• Электрическая емкость плоского конденсатора
где S — площадь пластин (каждой пластины); d — расстояние между ними; e — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.
Электрическая емкость плоского конденсатора, заполненного п слоями диэлектриком толщиной di каждый с диэлектрическими проницаемостями ei (слоистый конденсатор),
• Электрическая емкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R1 и R2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e)
• Электрическая емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра длиной l и радиусами R1 и R2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e)
• Электрическая емкость С последовательно соединенных конденсаторов:
в общем случае
где n — число конденсаторов;
в случае двух конденсаторов
в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С1 каждый
• Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов:
в общем случае
в случае двух конденсаторов
в случае та одинаковых конденсаторов с электроемкостью С1 каждый С = пС1.
• Энергия заряженного проводника выражается через заряд Q, потенциал j и электрическую емкость С проводника следующими соотношениями:
• Энергия заряженного конденсатора
где С — электрическая емкость конденсатора; U — разность потенциалов на его пластинах.
• Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, приходящаяся на единицу объема)
где Е—напряженность электрического поля в среде с диэлектрической проницаемостью e; D—электрическое смещение.
• Сила постоянного тока
где Q — количество электричества, прошедшее через поперечное сечение проводника за время t.
• Плотность электрического тока есть векторная величина, равная отношению силы тока к площади S поперечного сечения проводника:
где k — единичный вектор, по направлению совпадающий с направлением движения положительных носителей заряда.
• Сопротивление однородного проводника
где r — удельное сопротивление вещества проводника; l — его длина.
• Проводимость G проводника и удельная проводимость g вещества
• Зависимость удельного сопротивления от температуры
где r и r0 — удельные сопротивления соответственно при t и 0°С; t — температура (по шкале Цельсия); a — температурный коэффициент сопротивления.
• Сопротивление соединения проводников:
последовательного
параллельного
Здесь Ri — сопротивление i-го проводника: п — число проводников.
• Закон Ома:
для неоднородного участка цепи
для однородного участка цепи
для замкнутой цепи (j1=j2) I = e /R
Здесь (j1 - j2) — разность потенциалов на концах участка цепи; e12 — ЭДС источников тока, входящих в участок; U — напряжение на участке цепи; R — сопротивление цепи (участка цепи.
• Правила Кирхгофа. Первое правило: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е.
где n — число токов, сходящихся в узле.
Второе правило: в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, т. е.
где Ii — сила тока на i-м участке; Ri — активное сопротивление на i-м участке; ξi — ЭДС источников тока на i-м участке; п — число участков, содержащих активное сопротивление; k — число участков, содержащих источники тока.
• Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонними силами в участке цепи постоянного тока за время t,
• Мощность тока
• Закон Джоуля — Ленца
где Q — количество теплоты, выделяющееся в участке цепизавремя t.
Закон Джоуля — Ленца справедлив при условии, что участок цепи неподвижен и в нем не совершаются химические превращения.
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Основные формулы
• Закон Био — Савара — Лапласа
гдеdB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током; m — магнитная проницаемость; m0 = 4p×10-7 Гн/м — магнитная постоянная; dl — вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий по направлению с током (элемент проводника); I — сила тока; r — радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется.
Модуль вектораdB выражается формулой
где a — угол между векторами dl и r.
• Магнитная индукция В связана с напряженностью Н магнитного поля (в случае однородной, изотропной среды) соотношением
или в вакууме
• Магнитная индукция в центре кругового проводника с током
где R — радиус кривизны проводника.
• Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током,
где r — расстояние от оси проводника.
Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника,
При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная индукция, -cosj2 = cosj1 = cosj и, следовательно,
• Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его части (или тороида на его оси),
где n — число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; I — сила тока в одном витке.
• Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция Врезультирующего поля равна векторной сумме магнитных индукцийB1, B2,…, Вп складываемых полей, т. е.
В частном случае наложения двух полей
а модуль магнитной продукции
где a — угол между векторамиВ1иВ2.
• Закон Ампера. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле,
где I — сила тока; I — вектор, равный по модулю длине I проводника и совпадающий по направлению с током; В — магнитная индукция поля.
Модуль вектора F определяется выражением
где а — угол между векторами I и В.
• Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с токами I1 ц 12, находящихся на расстоянии d друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной I, выражается формулой
• Магнитный момент контура с током
где S — вектор, равный по модулю площади S, охватываемой контуром, и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости.
• Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,
Модуль механического момента
где a — угол между векторами рт и В.
• Потенциальная (механическая) энергия контура с током в магнитном поле
• Сила, действующая на контур с током в магнитном полe, изменяющемся вдоль оси x, ;
где — изменение магнитной индукции вдоль оси Ох, расcчитанное на единицу длины; а — угол между векторами рти B.
• Сила F, действующая на заряд Q, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В (сила Лоренца), выражается формулой
где a — угол, образованный вектором скорости v движущейся частицы и вектором магнитной индукции В.
• Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле
А=I DФ,
где DФ — изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром; I — сила тока в контуре.
•Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея— Максвелла)
где ei — электродвижущая сила индукции; N — число витков контура; y— потокосцепление.
Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции:
а) разность потенциалов U на концах проводника длиной l, движущегося со скоростью v в однородном магнитном поле,
где a — угол между направлениями векторов скорости v и магнитной индукцииВ;
б) электродвижущая сила индукции ξi, возникающая в рамке, содержащей N витков, площадью S, при вращении рамки с угловой скоростью w в однородном магнитном поле с индукцией В
где wt — мгновенное значение угла между вектором Ви вектором нормали пк плоскости рамки.
• Количество электричества Q, протекающего в контуре,
где R — сопротивление контура; Dy — изменение потокосцепления.
• Электродвижущая сила самоиндукции ξi, возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем,
где L — индуктивность контура.
• Потокосцепление контура
где L — индуктивность контура.
• Индуктивность соленоида (тороида)
Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по приведенной формуле для определения магнитной проницаемости следует пользоваться графиком зависимости В от Н (см. рис. 24.1), а затем формулой
• Мгновенное значение силы тока I в цепи, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L:
а) после замыкания цепи
где Е — ЭДС источника тока; t — время, прошедшее после замыкания цепи;
б) после размыкания цепи
где I0 — сила тока в цепи при t = 0; t — время, прошедшее с момента размыкания цепи.
• Энергия W магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L, определяется формулой
где I — сила тока в контуре.
• Объемная (пространственная) плотность энергии однородного магнитного поля (например, поля длинного соленоида)
Примеры решения задач
Пример 1.Тонкий стержень длиной l = 30 см несёт равномерно распределённый по длине заряд с линейной плотностью t = 1 мкКл/м. На расстоянии r0 = 20 см от стержня находится заряд Q1 = 10 нКл, равноудаленный от концов стержня. Определить силу F взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.
Решение. Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействия точечных зарядов. По условию задачи, один из зарядов не является точечным, а представляет собой заряд, равномерно распределённый по длине стержня. Однако если выделить на стержне малый участок длиной dl, то находящийся на нём заряд dQ = tdl можно рассматривать как точечный и тогда по закону Кулона сила взаимодействия между зарядами Q1 и dQ:
(1)
где r – расстояние от выделенного элемента до заряда Q1.
Из чертежа следует, что и , где r0 – расстояние от заряда Q1до стержня. Подставив эти выражения r и dl в формулу (1), получим
(2)
Следует иметь в виду, что dF– вектор, поэтому, прежде чем интегрировать, разложим его на две составляющие: dF1, перпендикулярную стержню, и dF2, параллельную ему.
Из рисунка видно, что dF1 = dF×cosa, dF2 = dF×sina. Подставляя значение dF из выражения (2) в эти формулы, найдём:
Интегрируя эти выражения в пределах от -b до +b, получим
В силу симметрии расположения заряда Q1 относительно стержня интегрирования второго выражения даёт нуль:
Таким образом, сила, действующая на заряд Q1,
(3)
Из рисунка следует, что . Подставив это выражение sinb в формулу (3). Получим
(4)
Произведём вычисления по формуле (4):
Пример 2. Электрическое поле создано бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью s=400 нКл/м2, и бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью t = 100 нКл/м. На расстоянии r = 10 см от нити находится точечный заряд Q = 10 нКл. Определить силу, действующую на заряд, ее направление, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости.
Решение. Сила, действующая на заряд, помещенный в поле,
F = Eq, (1)
где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд q.
Определим напряженность Е поля, создаваемого, по условию задачи, бесконечной заряженной плоскостью и бесконечной заряженной нитью. Поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью, однородно, и его напряженность в любой точке
(2)
Поле, создаваемое бесконечной заряженной линией, неоднородно. Его напряженность зависит от расстояния и определяется по формуле
(3)
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряженность поля в точке, где находится заряд Q, равна векторной сумме напряженностей Е1 и Е2 , (рис. 14.5): Е= Е1 + Е2. Так как векторы Е1 и Е2 взаимно перпендикулярны, то
Подставляя выражения Е1 и Е2 по формулам (2) и (3) в это равенство, получим
или
Теперь найдем силу F, действующую на заряд, подставив выражение Е в формулу (1):
(4)
Подставив значения величин Q, e0, s, t, p и r в формулу (4) и сделав вычисления, найдем
F = 289 мкН.
Направление силы F, действующей на положительный заряд Q, совпадает с направлением вектора напряженности Е поля. Направление же вектора Езадается углом а к заряженной плоскости. Из рисунка следует, что
tga = , откуда a = arctg ( ) .
Подставив значения величин s, t, p и r в это выражение и вычислив, получим
а = 51°34'.
Пример 3. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 = 6 см и R2 = 10 см несут соответственно заряды Q1= 1 нКл и Q2 = - 0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 = 5 см, r2 = 9 см и r3 = 15 см. Построить график Е(r}.
Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях : область 1(r < R1}, область II(R1<r2< R2), область III(r3 > R2).
1. Для определения напряженности Е1 в области I проведем сферическую поверхность S1 радиусом r1 , и воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство
(1)
где En — нормальная составляющая напряженности электрического поля.
Из соображений симметрии нормальная составляющая Еп должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т. е. En = E1 = const.
Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид
Так как площадь сферы не равна нулю, то
E1=0,
т. е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих условию r1 < R1, будет равна нулю.
2. В области II сферическую поверхность проведем радиусом r2. Так как внутри этой поверхности находится заряд Q1, то для нее, согласно теореме Остроградского — Гаусса, можно записать равенство
(2)
Так как En = Е2 == const, то из условий симметрии следует
или откуда
.
Подставив сюда выражение площади сферы, получим
(3)
3. В области III сферическую поверхность проведем радиусом r3. Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q1 + Q2.Следовательно, для нее уравнение, записанное на основе теоремы Остроградского — Гаусса, будет иметь вид
Отсюда, использовав положения, примененные в первых двух случаях, найдем
(4)
Убедимся в том, что правые части равенств (3) и (4) дают единицу напряженности электрического поля:
Выразим все величины в единицах СИ (Q1 =10-9 Кл, Q2 = - 0,5 ×10-9 Кл, r2 = 0,09 м, r2 = 0,15 м, 1/(4pe0) = 9 × 109 м/Ф) и произведем вычисления:
Е2 = 9×109 В/м =1,11×103 В/м =1,11кВ/м;
Е3 = 9×109 В/м = 200В/м.
4. Построим график Е(r). В области I (r1 < .R1) напряженность Е = 0. В области II(R1 £ r < R2) напряженность Е2(r) изменяется по закону 1/г2. В точке r = R1 напряженность E2(R1) = = 2500 В/м. В точке r = R2 (r стремится к R2 слева) E2(R2) = = 900 В/м. В области III(r>R2) Ез(r) изменяется по закону 1/r2, причем в точке r = R2 (r стремится к R2 справа) E3(R2)= = 450 В/м. Таким образом, функция Е(r) в точках r = R1 и r = R2, терпит разрыв. График зависимости Е(r) представлен на рис.
Пример 4. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом R, равномерно распределен заряд с линейной плотностью t = 10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал j электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина I нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.
Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось у была симметрично расположена относительно концов дуги. На нити выделим элемент длины dl. Заряд dQ = tdl, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.
Определим напряженность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ:
где r — радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, напряженность в которой вычисляется. Выразим вектор dE через проекции dEx и dEy на оси координат:
где i и j — единичные векторы направлений (орты). Напряженность Е найдем интегрированием:
Интегрирование ведется вдоль дуги длины l. В силу симметрии интеграл dEx равен нулю. Тогда
где
Так как r=R=const и dl=Rdu, то
Подставим найденное выражение dEy в (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрирования возьмем от 0 до p/3, а результат удвоим:
Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3l = 2pR), получим
Из этой формулы видно, что вектор Е совпадает с положительным направлением оси Оу. Подставив значение т и l в последнюю формулу и сделав вычисления, найдем
Определим потенциал электрического поля в точке О. Найдем сначала потенциал dj, создаваемый точечным зарядом dQ в точке О
Заменим r на R и произведем интегрирование:
Так как l = 2pR/3, то
Произведя вычисления по этой формуле, получим
Пример 5. Электрон без начальной скорости прошел разность потенциалов U0 = 10 кВ и влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U1 = 100 В, по линии АВ, параллельной пластинам. Расстояние d между пластинами равно 2см. Длина пластин конденсатора в направлении полета электрона равна 20 см. Определить расстояние ВС на экране Р, отстоящем от конденсатора на l2 = 1 м.
Решение. Движение электрона внутри конденсатора складывается из двух движений:
1) по инерции вдоль линии АВ спостоянной скоростью v0, приобретенной под действием разности потенциалов U0, которую электрон прошел до конденсатора;
2) равномерно ускоренного движения в вертикальном направлении к положительно заряженной пластине под действием постоянной силы поля конденсатора. По выходе из конденсатора электрон будет двигаться равномерно со скоростью v, которую он имел в точке М в момент вылета из конденсатора.
Из рисунка видно, что искомое расстояние
|ВС| = h1 + h2,
где h1 — расстояние, на которое сместится электрон в вертикальном направлении во время движения в конденсаторе; h2 — расстояние между точкой D на экране, в которую электрон попал бы, двигаясь по выходе из конденсатора по направлению начальной скорости v0, и точкой С, в которую электрон попадет в действительности.
Выразим отдельно h1 и h2.
Пользуясь формулой длины пути равномерно ускоренного движения, найдем
где а — ускорение, полученное электроном под действием поля конденсатора; t — время полета электрона внутри конденсатора.
По второму закону Ньютона а = F/m, где F — сила, с которой поле действует на электрон; т — его масса. В свою очередь, F = еЕ = eU1 /d, где е — заряд электрона; U1 — разность потенциалов между пластинами конденсатора; d — расстояние между ними.
Время полета электрона внутри конденсатора найдем из формулы пути равномерного движения t = v0 t, откуда
где t1 — длина конденсатора в направлении полета электрона. Выражение скорости v0 найдем из условия равенства работы, совершенной полем при перемещении электрона, и приобретенной им кинетической энергии: mv /2 = eUo. Отсюда
Подставляя в формулу (1) последовательно значения а, F, t и v из соответствующих выражений, получим
Длину отрезка h2 найдем из подобия треугольников MDC и векторного:
где v1 — скорость электрона в вертикальном направлении в точке М; l2, — расстояние от конденсатора до экрана.
Скорость v1 найдем по формуле v1 = at, которая с учетом выражений для а, F и t примет вид
Подставив выражение v1 в формулу (3), получим
или, заменив v по формуле (3), найдем
Окончательно для искомого расстояния |ВС| будем иметь
Подставив значения величин U1, Uo, d, l1 и l2 в последнее выражение и произведя вычисления, получим
Пример 6. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости С1 = С2 = С соединены в батарею последовательно и подключены к источнику тока с электродвижущей силой ξ. Как изменится разность потенциалов U1 на пластинах первого конденсатора, если пространство между пластинами второго конденсатора, не отключая источника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e = 7?
Решение. До заполнения второго конденсатора диэлектриком разность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одинакова: U1 = U2 = e /2. После заполнения электроемкость второго конденсатора возросла в e раз:
Электроемкость первого не изменилась, т. е. С = С. Так как источник тока не отключался, то общая разность потенциалов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь перераспределилась между конденсаторами. На первом конденсаторе
где Q — заряд на пластинах конденсатора. Поскольку при последовательном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и на всей батарее одинаков, то
где
Таким образом,
Подставив это выражение заряда в формулу (1), найдем
Чтобы найти, как изменилась разность потенциалов на пластинах первого конденсатора, вычислим отношение:
После подстановки значения e получим
Следовательно, разность потенциалов на пластинах первого конденсатора после заполнения второго конденсатора диэлектриком возросла в 1,75 раза.
Пример 7. Конденсатор электроемкостью C1 = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1 = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором электроемкостью С2 = 5 мкФ. Определить энергию DW, израсходованную на образование искры в момент присоединения второго конденсатора.
Решение. Энергия, израсходованная на образование искры, равна
где W1 — энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W2, — энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов.
Подставив в равенство (1) формулу энергии заряженного конденсатора W = CU2/2 и приняв во внимание, что общая электроемкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме электроемкостей отдельных конденсаторов, получим
где С1 и C2 — электроемкости первого и второго конденсаторов;U1 — разность потенциалов, до которой был заряжен первый конденсатор; U2 — разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.
Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом: U2 = . Подставив это выражение U2, в формулу (2), получим
После простых преобразований найдем
Выполнив вычисления , получим DW=1,5 мДж.
Пример 8. Потенциометр с сопротивлёением 100 Ом подключен к источнику тока, ЭДС которого равна 150 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом. Определить показание вольтметра с сопротивлением RB = 500 Ом, соединенного проводником с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом с серединой обмотки потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключенном вольтметре?
Решение. Показание U1 вольтметра, подключенного к точкам -A и B (рис. ), определяется по формуле
где I1 — сила тока в неразветвленной части цепи; R1 — сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.
Силу тока I1 найдем по закону Ома для всей цепи:
где R — сопротивление внешней цепи.
Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений:
Сопротивление R1 параллельного соединения может быть найдено по формуле,
,
откуда
Подставив в эту формулу числовые значения величин и произведя вычисления, найдем
Подставив в выражение (2) правую часть равенства (3), определим силу тока:
Если подставить значения I1 и R1 в формулу (1), то найдем показание вольтметра:
Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I2, на половину сопротивления потенциометра, т. е. U2 = I2(R/2), или
Подставив сюда значения величин f, Л и г, получим
Пример 9. Сила тока в проводнике сопротивлением R=20 Ом нарастает в течение времени Dt = 2 с по линейному закону от I0 = 0 до Imax = 6 А. Определить количество теплоты Q1, выделившееся в этом проводнике за первую секунду, и Q2 — за вторую, а также найти отношение этих количеств теплоты Q2/Q1.
Решение. Закон Джоуля — Ленца Q = I2Rt применим в случае постоянного тока (I = const.). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде
Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае
где k — -коэффициент пропорциональности, равный отношению приращения силы тока к интервалу времени, за который произошло это приращение:
С учетом равенства (2) формула (1) примет вид
Для определения количества теплоты, выделившегося за конечный промежуток времени Dt, выражение (3) следует проинтегрировать в пределах от t1 до t2.
При определении количества теплоты, выделившегося за первую секунду, пределы интегрирования t1 = 0, t2 = 1 с и, следовательно,
а за вторую секунду — пределы интегрирования t1 = 1 с, t2 = 2 с и тогда
Следовательно,
т. е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую секунду.
Пример 10. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом a = 2p/3. Определить магнитную индукцию В в точке А. Расстояние d = 5 см.
Решение. Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О. В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция В в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукцийВ1 иВ2 полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т. е.В =В1 +В2. Магнитная индукцияB2 равна нулю. Это следует из закона Био — Савара — Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси проводника, dB = 0([dlr] = 0).
Магнитную индукциюВ1 найдем, воспользовавшись формулой (3), полученной в примере 3:
где r0 — кратчайшее расстояние от проводника 1 до точки А
В нашем случае a1 ® 0 (проводник длинный),
a2 = a = 2p/3(cosa2 = cos(2p/3)) = —1/2. Расстояние r0 = dsin(p — a) = dsin(p/3) = d . Тогда магнитная индукция
Так как В= В1(В2= 0), то
Вектор В сонаправлен с векторомB1 и определяется правилом правого винта. На рис. 21.6 это направление отмечено значком х (перпендикулярно плоскости чертежа от нас).
Проверка единиц аналогична выполненной в примере 1.
Произведем вычисления:
Пример 11. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I=1 кА. Вычислить силу F взаимодействия токов.
Решение. Взаимодействие двух проводников, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой проводник. Предположим, что оба тока (обозначим их I1 и I2) текут в одном направлении.
Вычислим силу F1,2, с которой магнитное поле, созданное током I1, действует на проводник с током I2. Для этого проведем магнитную силовую линию так (штриховая линия на рис.), чтобы она касалась проводника с током I2. По касательной к силовой линии проведем вектор магнитной индукцииB1. Модуль магнитной индукцииВ2 определяется соотношением
Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго проводника с током I2 длиной dl2 действует в магнитном поле сила
Так как отрезок dl перпендикулярен векторуB1, то
и тогда
Подставив в выражение (2) В1из (1), получим
Силу F1,2 взаимодействия проводников с током найдем интегрированием по всей длине второго проводника:
Заметив, что I1 = I2 = I и l2 = l, получим
Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):
Произведем вычисления:
Сила .F1,2 сонаправлена с силой dF1,2 и определяется (в данном случае это проще) правилом левой руки.
Пример 12. Электрон, имея скорость v = 2 Мм/с, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 30 мТл под углом а = 30° к направлению линий индукции. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.
Решение. Известно, что на заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная векторам магнитной индукции В и скорости vчастицы: