Краткие теоретические сведения. 4 страница

Расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением на плоскости, находится по формуле:

.

Угол , ( ) между прямыми и , заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:

; .

, если или .

,если или

Координаты точки пересечения прямых и находятся как решение системы линейных уравнений: или .

Нормальным вектором плоскости , называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной плоскости.

Плоскость в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор плоскости;

2) - уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору ;

3) - уравнение плоскости, проходящей через три точки , и ;

4) -уравнение плоскости в отрезках, где , и - дины отрезков (со знаком ), отсекаемых плоскостью на координатных осях , и (знак « », если отрезок отсекается на положительной части оси и « », если на отрицательной).

Расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением , находится по формуле:

.

Угол , ( ) между плоскостями и , заданными общими уравнениями, находится по формуле:

.

, если

, если .

Тема 9. Кривые второго порядка.

Алгебраической кривой второго порядка в системе координат называется кривая , общее уравнение которой имеет вид:

,

где числа - не равны нулю одновременно. Существует следующая классификация кривых второго порядка: 1) если , то общее уравнение определяет кривую эллиптического типа (окружность (при ), эллипс (при ), пустое множество, точку); 2) если , то - кривую гиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых); 3) если , то - кривую параболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых) . Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются невырожденными кривыми второго порядка.

Общее уравнение , где , определяющее невырожденную кривую (окружность, эллипс, гиперболу, параболу), всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к уравнению одного из следующих видов:

1а) -уравнение окружности с центром в точке и радиусом (рис. 5).

1б) - уравнение эллипса с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа и - называются полуосями эллипса; прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником эллипса; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами эллипса.

Для построения эллипса в системе координат :1) отмечаем центр эллипса; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами , параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон только в вершинах эллипса (рис.6) .

Аналогично строится и окружность, основной прямоугольник которой имеет стороны (рис. 5).

Рис.5 Рис 6

2) - уравнения гипербол (называемых сопряжёнными) с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа и - называются полуосями гипербол; прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником гипербол; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами гипербол; прямые , проходящие через противоположные вершины основного прямоугольника – асимптотами гипербол.

Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4)проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктирной линией прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко, при бесконечном удалении от начала координат, приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 7) или гиперболы (рис. 8).

Рис.7 Рис.8

3а) - уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 9).

3б) - уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 10).

Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктирной линией ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом знака параметра параболы : при - в положительную сторону координатной оси, параллельной оси симметрии параболы (рис. 9а и 10а); при - в отрицательную сторону координатной оси (рис.9б и 10б) .

Рис. 9а Рис. 9б

Рис. 10а Рис. 10б

Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.

Линейным неравенством называют неравенство вида: , где - некоторые числа, - координаты точки пространства . Совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству, называют областью решений данного неравенства.

Для пространства линейное неравенство имеет вид . Его областью решений является одна из полуплоскостей, на которые граничная прямая делит плоскость . Для того, чтобы установить какая из полуплоскостей удовлетворяет данному неравенству выбирают «пробную» точку и проверяют, удовлетворяет ли она ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то неравенство выполняется в полуплоскости, содержащей «пробную» точку, в противном случае берётся другая полуплоскость. В качестве «пробной» точки выбирают любую точку, не принадлежащую граничной прямой.Полуплоскость, в которой неравенство выполняется, отмечают стрелками, направленными внутрь данной полуплоскости.

Системой линейных неравенств называют систему неравенств вида:

,

где - коэффициенты системы, - свободные члены системы. Совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют каждому из неравенств, называют областью решенийсистемы неравенств.

Для пространства система линейных неравенств имеет вид

.

Её областью решений является пересечение полуплоскостей, ограниченных прямыми, уравнения которых получают из неравенств заменой в них знаков неравенств на знаки равенств

Линейное программирование – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Задачи линейного программирования (ЗЛП) являются задачами оптимизации и широко применяются для решения экономических задач.

Существует несколько форм записи задачи линейного программирования.

Общей задачей линейного программирования называют задачу:

Симметричной задачей линейного программирования называют задачу:

или

Канонической задачей линейного программирования называют задачу:

Функция называется целевой функцией; величины называются переменными задачи; система уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи называется системой ограничений; любой -мерный вектор удовлетворяющий системе ограничений называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования; множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений; допустимое решение ЗЛП, при котором целевая функция достигает экстремума называется оптимальным решением (оптимальным планом) задачи линейного программирования.

Все формы записи ЗЛП эквивалентны. ЗЛП с двумя переменными может быть решена графическим методом, который основан на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального решения. Область допустимых решений ЗЛП строится как пересечение областей решений каждого из ограничений, входящих в систему ограничений задачи. Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения используют линии уровня целевой функции. Линией уровня целевой функции называется прямая , на которой целевая функция принимает постоянное значение . Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль показывает направление наибольшего возрастания значений целевой функции, а вектор ( ) – направление наибольшего убывания.

Если построить на одном рисунке область допустимых решений, вектор ( ) и одну из линий уровня, например , то задача линейного программирования сводится к определению в области допустимых решений точки в направлении вектора ( ), через которую проходит линия уровня ( ), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции . В этом и состоит графический метод решенияЗЛП.

Примером экономической задачи, сводящейся к задаче линейного программирования, является задача оптимального использования ресурсов.

При производстве видов продукции используется видов ресурсов. Известны: - запасов ресурсов; ( ) - расход -ого вида ресурса на производство одной единицы -ого вида продукции; - прибыль, получаемая от реализации одной единицы -ого вида продукции. Требуется составить план выпуска продукции , где - объём выпуска -ой продукции, который обеспечивает максимальную прибыль . Математическая модель такой задачи имеет вид:

и является задачей линейного программирования.