Краткие теоретические сведения. 1 страница

Тема 1. Определители.

Квадратной матрицей порядкаКраткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ruназывается квадратная таблица из чисел Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru ( Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru ): Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , состоящая из Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru строк и Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru столбцов. У квадратной матрицы различают главную диагональ: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru и побочную диагональ: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru . Любой квадратной матрице Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru порядка Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru можно поставить в соответствие число Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , равное алгебраической сумме Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru слагаемых, составленных определённым образом из элементов Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru ,называемое определителем матрицы. Кратко обозначается Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Определителем 1-ого порядка называется число Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Определителем 2-ого порядка называется число

Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Определителем 3-его порядка называется число Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru

Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Минором элемента Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ruназывается определитель Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , полученный из определителя Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru вычёркиванием Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru -ой строки и Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru -ого столбца.

Алгебраическим дополнением Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru элемента Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru называется его минор Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , взятый со знаком Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru :

Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Определителем порядка Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru называется число

Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru

Разложением определителя Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru по Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru -ой строке ( Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru ) называется соотношение: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Разложением определителя Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru по Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru -ому столбцу ( Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru ) называется соотношение: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru

Определители обладают следующими свойствами:

1) определитель не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами;

2) определитель изменит знак на противоположный, если переставить местами любые две строки (два столбца) определителя;

3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;

4) определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку (столбец), две одинаковые или пропорциональные строки (столбца);

5) определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число;

6) определитель треугольного вида (когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей равны нулю) равен произведению диагональных элементов: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Тема 2. Матрицы.

Матрицей размера Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ruназывается прямоугольная таблица из чисел Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru ( Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru ): Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , состоящая из Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru строк и Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru столбцов. Если необходимо указать размеры матрицы, то пишут Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Если Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , то матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru называется квадратной.

Нулевой называется матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , все элементы которой равны нулю, например: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru . Единичной называется квадратная матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, например: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru . Треугольной называется квадратная матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , все элементы которой расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru . Трапециевидной (ступенчатой) называется матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , все элементы которой, расположенные ниже элементов Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru равны нулю, например: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru называются равными и пишут Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Матрицы можно транспонировать, складывать, вычитать, умножать на число, умножать на другую матрицу.

Транспонированной к матрице Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru называется матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , столбцами которой являются соответствующие строки матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Суммой (разностью) матриц Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru одного размера Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , называется матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru того же размера, для которой:

Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Произведением матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru размера Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru на число Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru называется матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru того же размера, для которой: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Линейной комбинацией матриц Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ruиКраткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ruодного размера Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , называется матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru того же размера ( Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru - произвольные числа), для которой: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru ,

Произведением матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru на матрицу Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru называется матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , каждый элемент которой Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru вычисляется по правилу:

Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Операция умножения матрицы на матрицу определена не для всех матриц, а только для таких у которых число столбцов левой матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru равно числу строк правой матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru . Такие матрицы называются согласованнымидля умножения. Поэтому прежде чем выполнять операцию умножения матрицы на матрицу следует проверить их согласованность для умножения и определить размерность матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru . Особенность операции умножения матриц состоит в том, что в общем случае: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , т.е. переместительное свойство места не имеет.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

4) вычёркивание нулевой строки (столбца).

Матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называются эквивалентнымии пишут Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Обратнойк квадратной матрице Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru порядка Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , называется матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru того же порядка, если: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru - единичная матрица порядка Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Квадратная матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru называется невырожденной, если её определитель Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru . Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц.

Основными методами вычисления обратной матрицы являются:

Метод присоединённой матрицы. Если Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru -невырожденная матрица, то Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru - присоединённая матрица, для которой: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru . Здесь Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru - алгебраические дополнения элементов Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

В частности, если Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , то Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru

Метод элементарных преобразований.Для данной квадратной матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru порядка Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru строится прямоугольная матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru размера Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru приписыванием к Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru справа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru приводится к виду Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , что всегда возможно, если Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru - невырожденная.

Матричныминазываются уравнения вида: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru ,

где матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru - известны, матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru - неизвестна. Если квадратные матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru - невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Минором Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru -ого порядка матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru размера Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ruназывается определитель Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru квадратной матрицы порядка Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , образованной элементами матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , стоящими на пересечении произвольно выбранных её Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru строк и Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru столбцов Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru . Максимальный порядок Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru отличных от нуля миноров матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , называется её рангом и обозначается Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru или Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , а любой минор порядка Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , отличный от нуля – базисным минором.

Тема 3. Системы линейных уравнений. Модель Леонтьева.

…Система уравнений вида: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru называется системой Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru линейных уравнений с Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru неизвестными. Числа Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru называются коэффициентами системы, Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru - свободными членами системы, Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru - неизвестными системы.

В матричной форме система имеет вид: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .Здесь Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru -матрица системы, Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru -матрица-столбец неизвестных, Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru -матрица-столбец свободных членов.

Если Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , то система называется однородной, в противном случае неоднородной.

Система, матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru которой является треугольной с диагональными элементами Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , называется треугольной. Система, матрица Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru которой является трапециевидной, называется трапециевидной.

Решением системы называется всякий упорядоченный набор чисел Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , обращающий каждое уравнение системы в равенство. Совокупность всех решений называется множеством решений системы.

Система называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение; определённой, если она имеет только одно решение; неопределённой, если она имеет бесконечно много решений; несовместной, если она не имеет решений.

Однородная система уравнений всегда совместна, так как всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru . Треугольная система является определённой, трапециевидная система – неопределённой.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Элементарными преобразованиями систем уравнений называются:

1) перестановка уравнений;

2) перестановка местами слагаемых Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru в каждом из уравнений системы;

3) умножение уравнения на число, отличное от нуля;

4)прибавление к уравнению другого, умноженного на любое число;

5) вычёркивание уравнения вида: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Основными точными методами решения систем линейных уравнений являются методы: Крамера, обратной матрицы и Гаусса.

Если число уравнений в системе Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru совпадает с числом неизвестных Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru и определитель матрицы системы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , то система имеет единственное решение, которое можно найти:

а) методом Крамера по формулам: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru - определитель, получаемый из определителя матрицы системы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru заменой Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru -ого столбца на столбец свободных членов;

б) методом обратной матрицы по формуле Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru .

Методом Гаусса находят решение произвольной системы линейных уравнений. Метод состоит в приведении системы уравнений, с помощью элементарных преобразований, к системе специального вида, эквивалентной исходной, решение которой очевидно. Преобразования по методу Гаусса выполняют в два этапа. Первый этап называют прямым ходом, второй - обратным.

В результате прямого хода выясняют: совместна или нет система и если совместна то, сколько имеет решений - одно или бесконечно много, а также, в случае бесконечного множества решений, указывают базисные и свободные неизвестные для записи общего решения системы. Преобразования прямого хода выполняют, как правило, над расширенной матрицей системы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , которую получают, приписывая справа к матрице системы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru столбец свободных членов Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru . В результате элементарных преобразований строк и перестановкой столбцов, матрица системы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru должна быть приведена к матрице Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru треугольного или трапециевидного вида с элементами Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru . При этом, система уравнений, матрица которой Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , является треугольной с диагональными элементами Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , будет иметь единственное решение; система уравнений, матрица которой Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , является трапециевидной с элементами Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , будет иметь бесконечно много решений. Если, при выполнении преобразований расширенной матрицы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , в преобразованной матрице Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru появится строка Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений. Базисные неизвестные указывают, выписывая базисный минор преобразованной матрицы системы Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru . Базисными являются неизвестные преобразованной системы, столбцы коэффициентов Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru при которых образуют базисный минор (определитель максимального порядка, отличный от нуля). Свободными являются неизвестные, не являющиеся базисными.

В результатеобратного хода находят решение системы, записывая его в виде общего решения, если их бесконечно много. Преобразования обратного хода часто выполняют, над уравнениями системы, соответствующей последней расширенной матрице Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru прямого хода. В случае единственного решения, его получают, находя последовательно значения всех неизвестных из уравнений системы, начиная с последнего. В случае, когда решений бесконечно много, их записывают в виде общего решения. Для этого свободным неизвестным придают разные произвольные постоянные значения: Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru ,…, Краткие теоретические сведения. 1 страница - student2.ru , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находят значения всех базисных неизвестных. Полученное решение называют общим. Придавая произвольным постоянным, конкретные значения, находят частные решения системы уравнений.

Наши рекомендации