Краткие теоретические сведения. 2 страница

Уравнениямимежотраслевого баланса, описывающими процесс производства и потребления продукции Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru -отраслевой экономикой, называют уравнения Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ( Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ) , где Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - объём выпуска валовой продукции Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru -ой отраслью, Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - объём продукции Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru -ой отрасли, потребляемый Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru -ой отраслью для производства своей продукции, Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - объём выпуска конечной продукции Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru -ой отраслью, предназначенной для реализации в непроизводственной сфере.

Если предположить, что Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru (гипотеза линейности), где Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - постоянные числа, характеризующие технологию производства (показывают затраты продукции Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru -ой отрасли на производство 1 единицы продукции Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru -ой отрасли) и называемые коэффициентами прямых затрат, то уравнения межотраслевого баланса запишутся в виде: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ( Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ). Их называют уравнениями линейного межотраслевого баланса или линейной моделью Леонтьева многоотраслевой экономики и записывают, как правило, в матричном виде: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - единичная матрица; Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - матрица коэффициентов прямых затрат; Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - векторы (матрицы-столбцы) валового и конечного продукта, соответственно.

Основная задача линейного межотраслевого баланса состоит в отыскании вектора Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , который при известной матрице прямых затрат Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru обеспечивает заданный вектор конечного продукта Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru . Вектор Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru находится по формуле Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - матрица коэффициентов полных затрат, элемент Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru которой показывает величину валового выпуска продукции Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru -ой отрасли, необходимой для обеспечения выпуска 1 единицы конечного продукта Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru -ой отрасли. Решение такой задачи существует только для продуктивных матриц Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Матрица Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называется продуктивной, если для любого вектора Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru существует решение Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru уравнения Леонтьева: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Матрица Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru будет продуктивной, если сумма элементов по каждому её столбцу (строке) не превосходит единицы: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , причём хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство данной отрасли. Объёмы Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru выпуска чистой продукции Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru -ой отрасли вычисляют по формулам: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ( Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ).

Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.

Арифметическим вектором называют упорядоченную совокупность из Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru чисел: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и обозначают Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru . Числа Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называют компонентами вектора Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , число компонент называют его размерностью.

Векторы Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называют равными, если они одинаковой размерности и их соответствующие компоненты равны: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Суммой векторов Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru одной размерности, называют вектор Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru той же размерности, для которого: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Произведением вектора Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru на число Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называют вектор Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru той же размерности, для которого: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Линейной комбинациейвекторов Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru одной размерности, называют вектор Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru той же размерности ( Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - произвольные числа), для которого: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Множество всех Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru -мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям (аксиомам) называют векторнымпространствоми обозначают Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Систему векторов Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называют линейно зависимой, если найдутся числа Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru одновременно, такие, что Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru (где Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - нулевой вектор), в противном случае, систему называют линейно независимой.

Базисом системы векторов Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называют упорядоченную систему векторов Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , удовлетворяющую условиям:

1) Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ; 2) система Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru линейно независима; 3) для любого вектора Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru найдутся числа Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru такие, что Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru . Коэффициенты Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , однозначно определяемые вектором Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , называют координатами вектора в базисе Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , а формулу называют разложениемвектора Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru по базису Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и пишут: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

В пространстве Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru базисом является каждая упорядоченная система из Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru линейно независимых векторов: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru . Формулу Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называют разложениемвектора Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru по базису Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , коэффициенты Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - координатами вектора в базисе Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и пишут Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Всякая упорядоченная система из Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru векторов Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru образует базис Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , если определитель, столбцами которого являются компоненты векторов Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , не равен нулю.

Пространство Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , в котором введено скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определённым требованиям (аксиомам), называют евклидовым. Скалярным произведением двух векторов Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называют число: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Тема 5. Линейные операторы. Собственные числа и векторы.

Операторомназывается закон (правило), по которому каждому вектору Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ставится в соответствие единственный вектор Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , и пишут Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru или Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru В дальнейшем, рассматривается случай Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru (преобразование пространства Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ). Оператор Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называется линейным, если для любых векторов Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и действительных чисел Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru выполнено условие: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Если Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - базис пространства Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , томатрицей линейного оператора Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru в базисе Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ruназывается квадратная матрица Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru порядка Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , столбцами которой являются столбцы координат векторов Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru . Между линейными операторами, действующими в Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и квадратными матрицами порядка Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , существует взаимно однозначное соответствие, что позволяет оператор Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru представить в матричном виде Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - матрицы-столбцы координат векторов Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - матрица оператора Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru в базисе Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru.

Для линейных операторов, действующих в Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru вводятся следующие операции: 1) сложение операторов: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ; 2) умножение операторов на число: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ; 3) умножение операторов: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Обратным к оператору Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называется оператор Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru такой, что Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - единичный (тождественный)оператор, реализующий отображение Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru . Обратный оператор Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru существует только для невырожденных операторов Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru (операторов, матрица которых является невырожденной). Все, рассмотренные выше, действия над линейными операторами выполняют, выполняя аналогичные действия над их матрицами.

Пусть число Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и вектор Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , таковы, что выполняются равенства: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru или Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru . Тогда число Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называется собственным числом линейного оператора Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru (или матрицы Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ), а вектор Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - собственным вектором этого оператора (или матрицы), соответствующим собственному числу Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru . Равенство Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru может быть записано в виде Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - единичная матрица порядка Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - матрица-столбец координат собственного вектора Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , соответствующего собственному числу Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - нулевая матрица-столбец.

Характеристическим уравнением оператора Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru (или матрицы Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ) называется уравнение: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Множество собственных чисел оператора (или матрицы) совпадает с множеством корней его характеристического уравнения: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Тема 6. Квадратичные формы.

Квадратичной формой Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ( или кратко Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ) от Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru -переменных называется однородный многочлен второй степени с действительными коэффициентами: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru . Квадратичную форму всегда можно записать в матричном виде: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - матрица квадратичной формы (являющаяся симметрической, так как выполняется условие Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ), Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - матрица-столбец, Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - матрица-строка, составленные из переменных Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Квадратичная форма называется невырожденной, если её матрица является невырожденной.

Квадратичная форма называется канонической, если она имеет вид:

Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Всякую квадратичную форму всегда можно привести к каноническому виду, например, методами Лагранжа и ортогональных преобразований.

Квадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимости от множества их значений. Квадратичная форма Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называется:

положительно (отрицательно) определённой, если для любого Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru выполняется неравенство Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ( Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ); неотрицательно (неположительно) определённой, если для любого Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru выполняется неравенство Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ( Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ), причём существует Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , для которого Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ; знакопеременной (или неопределённой), если существуют такие Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , что Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Невырожденная квадратичная форма может быть либо положительно определённой, либо отрицательно определённой, либо знакопеременной. Тип невырожденной квадратичной формы можно определить, проверяя знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Пусть Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru - матрица квадратичной формы. Главными минорами матрицы Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называются миноры порядка Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru

( Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ), составленные из первых Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru строк и первых Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru столбцов матрицы: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Критерием знакоопределённости невырожденной квадратичной формы является критерий Сильвестра:

- квадратичная форма Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны, т.е. Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru ;

- квадратичная форма Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru отрицательно определена тогда и только тогда, когда для всех главных миноров её матрицы выполняются неравенства: Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru (все миноры нечётного порядка отрицательны, а чётного – положительны) ;

- квадратичная форма Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru знакопеременна тогда и только тогда, когда для главных миноров её матрицы выполняется хотя бы одно из условий: один из главных миноров равен нулю, один из главных миноров чётного порядка отрицателен, два главных минора нечётного порядка имеют разные знаки .

Тема 7. Векторная алгебра.

Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок, задаваемый упорядоченной парой точек (началом и концом вектора). Обозначают вектор Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru или Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru . Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru или Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru . Углом между векторами Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называется угол Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru , на который следует повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением другого вектора, при условии, что их начала совпадают. Проекцией вектора Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru на вектор Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru называется число Краткие теоретические сведения. 2 страница - student2.ru .

Наши рекомендации