Формула Эйлера для числа вершин, ребер и граней плоского графа

Формула Эйлера связывает число вершин и ребер плоского графа с числом его граней. Гранью называется область плоскости, ограниченная ребрами плоского графа, не содержащая внутри себя ни ребер, ни вершин.

Итак, формула Эйлера:

где n – число вершин, m – число ребер графа, f – число граней графа.

Исходя из этой формулы, был сформулирован ряд следствий:

Следствие 1. В любом простом планарном графе существует вершина, степень которой не больше пяти.

Следствие 2. Каждый планарный граф G с n ≥ 4 вершинами имеет, по крайней мере, четыре вершины со степенями, не превышающими 5.

Следствие 3. Если G – связный простой планарный граф с n ≥ 3 вершинами и m ребрами, то m ≤ 3n – 6.

Приведенные следствия определяют зависимость планарности графа от числа его вершин и ребер и задают границы интервала по числу ребер, при попадании в который необходимо проводить дополнительные исследования, чтобы получить достоверный ответ на вопрос, является ли планарным исследуемый граф.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Непрерывные одномерные распределения вероятностей

Нормальное распределение(Гаусса)

Непрерывная случайная величина x распределена нормально с математическим ожиданием (центром) μ и дисперсией σ², если

Здесь F(X) – функция распределения (рис. 1), а w(X) – плотность распределения (рис. 2).

Рис. 1. Вид функции нормального распределения вероятностей F(X)

Рис. 2. Вид плотности нормального распределения вероятностей w(X)

Равномерное (прямоугольное) распределение

Функция распределения на интервале (μ-a, μ+a) равна:

и имеет вид, показанный на рис. 3.

Рис.3. Вид функции равномерного распределения вероятностей F(X)

Плотность равномерного распределения на интервале (μ-a, μ+a) равна:

и имеет вид, показанный на рис. 4.

Рис.4. Вид плотности равномерного распределения вероятностей w(X)

Дисперсия для равномерного распределения имеет значение:

D(X)=a²/3.

РаспределениеЛапласа

Функция распределения равна:

и имеет вид, показанный на рис.5.

Рис.5. Вид функции распределения Лапласа для μ=0,5 и β=0,1

Плотность распределения Лапласа равна:

и имеет вид, показанный на рис.6.

Рис.6. Вид плотности распределения Лапласа для μ=0,5 и β=0,1

Значение дисперсии составляет: D(X)=2β².

Вырожденное (причинное) распределение

Функция распределения равна единичной ступенчатой функции (рис.7):

Рис.7. Вид функции вырожденного распределения F(X)

Плотность распределения равна дельта-функции Дирака:

и имеет вид, показанный на рис.8.

Рис.8. Вид плотности вырожденного распределения w(X)

ПРИЛОЖЕНИЕ 4