Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Рассмотрим степень Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru с комплексным показателем z = χ + iy, где e = 2,7182… – основание натурального логарифма, то Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru , т.е.

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru (11)

Если х = 0, то получим соотношение, которое называется формулой Эйлера

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru (12)

Показательная функция имеет период, равный 2πi, т. е. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru . При z = 0получим соотношение Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru .

Тригонометрическую форму комплексного числа z = r( Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru можно записать виде: z = r Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru , Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = r Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru (13)

Эта запись называется показательной или экспоненциальной формой комплексного числа.

Для комплексных показателей справедливы основные правила действий с показателями:

1) Правило: При умножении чисел показатели складываются.

r1 Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru (14)

2) Правило:При делении чисел показатели вычитаются.

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru (15)

3) Правило:При возведении в степень показатели перемножаются.

(r Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru )n = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru (16)

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru * Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru (k = 0,1,2,…,n – 1) (17)

Формула Эйлера (12) устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменим в этой формуле у на φ и на – φ, получим

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru

Складывая и вычитая эти равенства, получим:

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru (18)

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru (19)

Формулы (18) и (19), также называются формулами Эйлера.Они выражают тригонометрические функции через показательные.

Пример 11:Представьте в показательной форме комплексное число z = - 2 + 2 Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru i.

Решение: Используя формулу (5), находим r = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = 4. По формуле (13) найдём

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru ; Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru .По формуле (18) и (19) вычислим значение Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = - Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru и Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru , т.о. φ = - Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru

Ответ: z = 4 Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru

У п р а ж н е н и я д л я с а м о п р о в е р к и:

1. Найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: а) z = 1 + i; б) z = 2 - 2i.

2. Решите квадратные уравнения: а) х2 + х + 1 = 0; б) х2 + 1 = 0

3. Даны два числа z1 = 2 + 3i; z2 = 1 – 2i. Найдите сумму и разность этих чисел.

4. Найдите х и у из уравнения: (1 + 2i)x + (3 – 5i)y = 1 – 3i.

5. Дано z1 = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru z2 = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru Найдите z1z2

6. Представьте в экспоненциальной форме комплексное число 2 + 2i.

7. Дано z1 = 2eI; z2 = 0.5e0.5i. Найдите: z1z2

Ответы:1.а) r = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru ; φ = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru . б) r = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru ; φ = - Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru . 2. а) - Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru ; б) Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru . 3. 3 + I и 1 + 5i. 4. x = - Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru ; y = Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru . 5. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru ( Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru ). 6. 2 Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru . 7. e- 0.5i.

Пределы.

Определение1:Число А называется пределом функции f(х) при х →а, если для любого число ε > 0 можно указать δ >0, что для любого х ≠ а, удовлетворяющему неравенству 0<|х – а |<δ, выполняется неравенство |f(х) – А |<ε. В этом случае пишут Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = А. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru

Определение 2:Функция f(х) называется бесконечно малой при х →а, если Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = 0

Пример1: Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru

Определение 3: Функция f(х) называется бесконечно большой при х →а, если Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = ± ∞.

Пример2: Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru .

Свойства бесконечно малой и бесконечно большой функций:

1.Если f(х) – бесконечно малая функция, то Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru - бесконечно большая функция.

2.Если f(х) – бесконечно большая функция, то Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru - бесконечно малая функция.

Теоремы о пределах.

Теорема 1:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), то существует и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(х) и g(х):

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru (f(х) + g(х))= Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru + Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru g(x).

Теорема 2:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), то существует и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(х) и g(х):

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru (f(х) * g(х))= Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru f(x)*. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru

Теорема № 3:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), предел функции g(х) отличный от 0, то существует и предел их отношения, равный отношению пределов функций f(х) и g(х):
Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru

Следствия.

Следствие 1:Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru

Следствие 2:Предел степени равен степени пределов.

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = ( Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru )n.

Следствие 3: Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера - student2.ru = с.

Наши рекомендации