Экзаменационная программа по линейной алгебре и аналитической геометрии

1. Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.

2. Перестановка. Определитель n-го порядка и его свойства.

3. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам любой строки (или столбца).

4. Определитель произведения матриц. Определение обратной матрицы. Доказать теорему существования и единственности обратной матрицы.

5. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Матричные уравнения АХ=В, YA=B.

6. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Матричная запись. Правило Крамера.

7. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Методы нахождения ранга матрицы.

8. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.

9. Теорема Кронекера - Капелли.

10. Алгоритм решения систем линейных неоднородных уравнений.

11. Однородные системы уравнений. Теорема о существовании ненулевых решений. Фундаментальная система решений.

12. Структура общего решения однородной и неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

13. Линейные пространства. Определение. Примеры.

14. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Свойства.

15. Размерность линейного пространства. Базис.

16. Координаты вектора в данном базисе. Линейные операции над векторами в координатной форме.

17. Матрица перехода от одного базиса к другому. Связь между координатами вектора в разных базисах.

18. Подпространства линейных пространств. Примеры. Теорема о размерности подпространства.

19. Линейные преобразования линейных пространств. Определение. Примеры.

20. Матрица линейного преобразования. Связь между матрицами и линейными преобразованиями.

21. Сложение линейных преобразований.

22. Умножение линейного преобразования на число.

23. Умножение линейных преобразований.

24. Связь между матрицами линейного преобразования в разных базисах.

25. Обратные преобразования.

26. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Теорема о приведении линейного преобразования к диагональному виду.

27. Теорема о линейной независимости собственных векторов линейного преобразования.

28. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного преобразования.

29. Инвариантность характеристического многочлена линейного преобразования.

30. Теорема о приведении матрицы линейного преобразования к диагональному виду в случае простого спектра.

31. Векторы. Линейные операции над векторами.

32. Базис. Координаты вектора. Линейные операции в координатной форме.

33. Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости.

34. Системы координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Прямоугольная система координат.

35. Выражение координат вектора через координаты начала и конца. Деление отрезка в данном отношении.

36. Скалярное произведение, его свойства. Условие перпендикулярности двух векторов.

37. Скалярное произведение двух векторов в координатной форме. Расстояние между двумя точками. Длина вектора. Угол между векторами.

38. Векторное произведение двух векторов. Его свойства. Условие коллинеарности двух векторов.

39. Векторное произведение двух векторов в координатной форме.

40. Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл, свойства.

41. Смешанное произведение в координатной форме (трех векторов). Условие компланарности трех векторов.

42. Преобразование прямоугольной системы координат на плоскости. Перенос начала. Полярная система координат и ее связь с прямоугольной системой.

43. Понятие об уравнениях линий и поверхностей. Уравнение окружности и сферы.

44. Различные виды уравнений прямых на плоскости: общее, с угловым коэффициентом, по точке и угловому коэффициенту, по двум точкам, в отрезках.

45. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду. Расстояние от точки до прямой.

46. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности.

47. Векторно-параметрическое уравнение плоскости. Параметрические уравнения плоскости.

48. Плоскость как поверхность 1-го порядка. Нормальное уравнение плоскости.

49. Общее уравнение плоскости, приведение общего уравнения к нормальному

виду.

50. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору, векторное уравнение плоскости. Связка плоскостей.

51. Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках.

52. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

53. Векторно-параметрическое уравнение прямой в пространств. Каноническое уравнение прямой.

54. Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду.

55. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности 2-х прямых.

56. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности прямой и плоскости.

57. Условие принадлежности 2-х прямых одной плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.

58. Канонические уравнения эллипса и параболы. Исследование их форм.

59. Каноническое уравнение гиперболы, исследование ее формы, асимптоты.

60. Цилиндрические и конические поверхности.

61. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды.