Математична модель переносу тепла

Поняття математичної моделi

Математична модель – це опис якого--небудь явища або процесу за допомогою математичної символiки. Математичне моделювання – потужний метод пiзнання зовнiшнього свiту, прогнозування i управлiння. Аналiз математичної моделi дозволяє проникнути в суть дослiджуваних явищ.

Процес математичного моделювання можна роздiлити на чотири етапи.

Перший етап – формулювання законiв, за якими зв'язуються мiж собою основнi об'єкти моделi. Вiн вимагає широкого знання фактiв вiдносно дослiджуваного явища i глибокого проникнення в їх взаємозв'язок. Як правило, дослiджуване явище супроводжується великою кiлькiстю взаємодiй мiж багатьма об'єктами явища. Прослiдити за всiма об'єктами i зв'язками мiж ними дуже важко i громiздко. Тому дослiднику необхiдно видiлити основнi об'єкти i основнi взаємодiї мiж ними для того, щоб математична модель була доступною для подальшого вивчення. Цей етап завершується записом в математичнiй формi сформульованих якiсних уявлень про зв'язки мiж об'єктами моделi.

Другий етап – дослiдження математичних задач, до яких зводиться математична модель. Основним тут є розв'язування прямої задачi, тобто одержання в результатi аналiзу моделi вихiдних даних для подальшого їх спiвставлення з результатами спостережень дослiджуваного явища. На цьому етапi важливу роль грає математичний апарат, необхiдний для аналiзу математичної моделi, i обчислювальна технiка – потужний засiб для одержання кiлькiсної вихiдної iнформацiї як результат розв'язування складних математичних задач. При цьому широко застосовуються методи обчислювальної математики.

Отже, на цьому етапi дослiдник повинен вибрати перш за все апарат для розв'язання сформульованої на першому етапi математичної задачi, а потiм розробити алгоритм розв'язання задачi на ПЕОМ.

Третiй етап – перевiрка, чи задовольняє прийнята гiпотетична модель критерiю практики, тобто перевiрка, чи узгоджуються результати спостережень з теоретичними наслiдками моделi в межах точностi спостережень. Якщо вiдхилення виходять за межi точностi спостережень, то модель не може бути прийнятою.

Часто при побудовi моделi деякi її характеристики залишаються невизначеними. Задачi, в яких визначаються характеристики моделi таким чином, щоб вихiдна iнформацiя була порiвнянною в межах точностi спостережень з результатами спостережень дослiджуваних явищ, називаються оберненими задачами. Якщо математична модель така, що нi при якому виборi характеристик цим умовам не можна задовольнити, то модель неприйнятна для дослiдження цих явищ.

Застосування критерiю практики для оцiнки математичної моделi дозволяє робити висновок про правильнiсть положень, якi лежать в основi моделi, яку треба вивчати. Цей метод є єдиним методом вивчення недоступних нам безпосередньо явищ макро- i мiкросвiту.

Четвертий етап – подальший аналiз моделi в зв'язку з накопиченням даних про дослiджуванi явища i модернiзацiя моделi. В процесi розвитку науки i технiки данi про дослiджуванi явища все бiльше i бiльше уточнюються i наступає момент, коли висновки, одержанi на основi iснуючої математичної моделi, не вiдповiдають нашим знанням про явище. Тодi виникає необхiднiсть побудови нової бiльш досконалої математичної моделi.

Метод математичного моделювання, який зводить дослiдження явищ зовнiшнього свiту до математичних задач, займає провiдне мiсце серед iнших методiв дослiдження особливо з появою ЕОМ. Вiн дозволяє проектувати новi технiчнi засоби, якi працюють в оптимальних режимах, для розв'язання складних задач науки i технiки.

Математична модель переносу тепла

Як приклад, розглянемо задачу про розповсюдження тепла в тiлi. Iз курсу фiзики вiдомо, що теплота є результатом руху частинок речовини тiла. Ступiнь його нагрiтостi визначається його температурою. Передача тепла вiд одної частини тiла до iншої вiдбувається рiзними шляхами: випромiнюванням, хiмiчними процесами, передачею кiнетичної енергiї i т.п. Будемо враховувати поширення тепла лише шляхом передачі кiнетичної енергiї.

Процес поширення тепла у просторі можна характеризувати за допомогою температури , яка є функцією координат і часу . Якщо температура середовища (тіла) відмінна від сталої, то виникають теплові потоки, направлені від місць з більш високою температурою до місць з меншою температурою.

Виділимо в середовищі (тілі) довільний об'єм , обмежений замкненою поверхнею . Згідно з законом Фур'є кількість тепла що протікає через площинку в точці цієї поверхні за проміжок часу від до в напрямку теплового потоку, визначається формулою

де -коефіцієнт теплопровідності, -нормаль до елементу поверхні , яка має напрям теплового потоку. Знак мінус забезпечує додатність , оскільки

(тепло протікає в напрямку зменшення температури).

Загальна кількість тепла, що протікає через всю поверхню за проміжок часу визначається інтегралом

(2.1)

Підрахуємо кількість тепла , яке втрачає (отримує) елементарний об’єм за час . Для того, щоб за проміжок часу в кожній точці об’єму температура змінилася на потрібна кількість тепла Загальна кількість тепла яке втрачає (отримує) об’єм за час дорівнює

(2.2)

де с - питома теплоємність, - маса об'єма dv, - щільність або густина тіла.

Позначимо через щільність внутрішніх джерел тепла, тобто кількість тепла, яке виділяється (або поглинається) за одиницю часу одиницею маси тіла (середовища). Тоді кількість тепла, виділеного (або поглинутого) в об'ємі dv за час dt (наприклад, внаслідок хімічних реакцій)

а в усьому об'ємі V -

Рівняння балансу тепла

означає: кількість тепла, яке викликало зміну температури тіла на величину , дорівнює різниці між теплом, яке виділилося в тілі за рахунок внутрішніх джерел тепла, і теплом, яке пройшло через поверхню в напрямку нормалі .

За теоремою Гаусса - Остроградського

Тому співвідношення (1.5) запишеться у вигляді

Застосовуючи в лівій частині цієї рівності теорему про скінченні прирости , а в правій - теорему про середнє значення до інтегралу по змінній t, маємо:

Звідси, враховуючи довільність вибраного об'єму V, отримуємо

або

або

Рівняння (1.7) є рівнянням нестаціонарної теплопровідності.

Якщо - сталі, то рівняння (1.7) можна записати у вигляді :

де

Якщо , то рівняння (1.8) має вигляд

У випадку, коли маємо

Це рівняння описує розповсюдження тепла в прямолінійному стержні, вісь якого співпадає з віссю Оx.

Початкова умова для рівняння теплопровідності в тілі V з границею S задається у вигляді

Крайова умова І роду ( задача Діріхле ) задається у вигляді

тут f - задана функція точок границі S та часу t.

Крайова умова ІІ роду (задача Неймана) задається у вигляді

де - напрям зовнішньої нормалі до границі S. Ця умова відповідає випадку, коли на границі S задається тепловий потік. Крайова умова ІІІ роду

еквівалентна умові (закону Ньютона)

яка означає, що потік тепла на границі S визначається теплообміном із зовнішнім середовищем ( температура зовнішнього середовища).