Будем считать также, что и sZ и tXZ не зависят от координаты у.

Тогда, взяв из системы дифференциальных уравнений равновесия [1] для плоской задачи уравнение

,

и проинтегрировав его по у в пределах от 0 до h / 2, учитывая, что не зависит от у, получим следующее приближенное уравнение равновесия:

. (1)

Для решения этого уравнения необходимо задать то или иное распределение t_k . При этом принимаются упрощающие допущения. Во-первых, в направлении оси z (рис. 1) касательное напряжение изменяется линейно от 0 на оси симметрии до t_k на контактной поверхности. Во-вторых, контактное касательное напряжение t_k не зависит от координаты х.

Рис. 1. Схема напряжений при осадке призматического бруса

между плоскими параллельными плитами

Дифференцируя условие пластичности , получим в различных частных случаях для точки контактной поверхности

. (2)

Уравнение (2) совместно с полученным дифференциальным уравнением равновесия (1) дает необходимое для определения осевого напряжения дифференциальное уравнение

(3)

Интегрируя уравнение (3) при заданных граничных условиях, получим закон распределения осевых нормальных напряжений s_Z на контактной поверхности, то есть закон распределения удельных контактных давлений.

уммируя удельные давления по всей площади контакта, при необходимости можно получить усилие деформации.

При решении задачи «выдавливание» существует неопределенность в описании формы очага деформации, поэтому задачу рекомендуется вначале решать методом линий скольжения, а затем, определив приблизительно габариты и форму очага деформации, привести его к трапеции (рис. 2 (заштриховано) с размерами оснований Н и h и углом a - наклона боковых сторон.

Рис. 2. Схема напряжений при выдавливании

Так как боковые стороны трапеции являются границей жесткой и пластической зон, то t_k здесь всегда принимают равным k, независимо от задаваемых в каждом варианте условий.

При решении задачи «труба под давлением» дифференциальное уравнение равновесия целесообразно составлять в цилиндрических координатах [1], [2].

2.2. Метод линий скольжения

Для определения напряжений методом линий скольжения необходимо уметь строить линии скольжения для конкретных задач, опираясь на общие положения и определять s_ср хотя бы в одной точке деформированного объема (например, в точке А, рис. 3).

Далее, используя уравнение , где k - постоянная пластичности, - изменение угла наклона касательной, можно определить s_ср в любой точке линии скольжения. Зная s_ср и угол наклона j линии скольжения к произвольно выбранному направлению х,можно определить как нормальные напряжения s_Х и s_Z , так и касательное напряжение t_XZ по уравнениям

(4)

Для построения поля линий скольжения необходимо знать свойства линий скольжения.

1. Линии скольжения пересекают главные направления под углом p / 4 (рис. 3), поэтому к свободной поверхности, которая всегда является главной, и к контактной поверхности при отсутствии трения (t_К = 0) линии скольжения подходят под углом p / 4. Так же под углом p / 4 лини скольжения пересекают оси симметрии.

Рис. 3. Напряжения в точке линии скольжения

2. Угол между касательными к двум линиям скольжения одного семейства в точках пересечения с линиями другого семейства остается постоянным на всем протяжении линий скольжения. Поэтому прямолинейные отрезки линии скольжения одного семейства требуют, чтобы соседние отрезки линий этого семейства также были прямыми. Поле линий скольжения, в котором оба семейства являются прямыми линиями, характерно для однородного напряженного состояния, при котором напряжения s_ср в любой точке этого поля одинаковы.

3. Поле линий скольжения, в котором одно семейство состоит из прямых линий, а другое – из перпендикулярных этим прямым дуг окружностей, характеризует простое напряженное состояние, при котором постоянное s_ср вдоль прямых отличается друг от друга на величину 2k ^. dq , где dq - угловой интервал, принимаемый обычно равным 5⁰, 10^о или 15^о.

Сочетание полей линий скольжения однородного и простого напряженных состояний наиболее часто встречается при решении задач с прямолинейными контактными и свободными поверхностями.

4. Линии скольжения должны удовлетворять условиям на внешнем контуре деформируемого тела. Например, углы выхода линий скольжения на контактную поверхность, на которой t_К = 2m^. k, согласно уравнению , где t_XZ = t_К , будут .

5. Линии скольжения могут исходить из особых точек, к которым относятся пересечения свободной и контактной поверхностей, искривления и переломы контактной поверхности, и другие.

Пример. В предложенных вариантах задач «осадка», «выдавливание», «открытая штамповка» сетка линий скольжения представляет собой центрированный веер, который строится следующим образом.

Из центров А и А₁ проводятся дуги одинакового радиуса, которые пересекаются в точке В под углом π/2 (рис. 4).

Рис. 4. Двухцентровый веер линий скольжения

Например, при осадке точки А и А₁ являются угловыми точками осаживаемой полосы. Сетка, появляющаяся справа от АА₁, будет симметрична относительно линии ВХ, перпендикулярной АА₁. Следовательно, достаточно построить половину сетки выше ВХ.

Дуга ВС делится пучком пямых, проводимых из центра А с одинаковым угловым интервалом 15^о (можно выбрать угловой интервал 10^о, 5^о), на одинаковые отрезки ВС, СD, DE. Эти дуги заменяются хордами. Все последующие отрезки линий скольжения также являются хордами, т.е. фактически криволинейные линии скольжения строятся как ломаные линии. Отрезок СF проводится перпендикулярно к ВС, отрезок DG – перпендикулярно к СD, а отрезок FG – параллельно ВС. На пересечении отрезков DG и FG получаем узловую точку G. Последующие узловые точки скольжения получим аналогичным образом.

Пользуясь описанным методом, построим сетку линий скольжения до выхода на свободную, контактную или граничную (разделяющую пластическую и жесткую зоны) поверхность. При этом углы выхода линий скольжения на эти поверхности подчиняются описанным выше свойствам.

Далее, по полученной сетке линий скольжения с помощью уравнений (4) можно определить компоненты напряжений в любых узловых точках.

Для определения усилия деформации необходимо суммировать компоненты напряжений по той оси, которая совпадает с направлением движения инструмента. При этом рассматривают либо плоскость симметрии, перпендикулярную этой оси, либо границу очага деформации.

В общем случае сетка, содержащая двухцентровый веер с угловым интервалом 5^о, построенная в некотором масштабе [4], может использоваться для контроля правильности построения.

Поле линий скольжения, получаемое в каждом конкретном задании, должно точно накладываться на часть этой общей сетки, если построение выполнить в этом же масштабе.

Метод линий скольжения позволяет определить не только напряжение при плоском деформированном состоянии, но и деформации. Для этого с помощью сетки линий скольжения строится годограф скоростей, то есть диаграмма, показывающая скорости частиц материала в очаге деформации на линии скольжения. Затем с помощью уравнений Гейрингер [1]

(вдоль a ),

(вдоль b ), (где U_a и U_b - скорости перемещения частиц вдоль линий скольжения; dθ - угол поворота линий скольжения между узловыми точками) можно определить компоненты скоростей перемещения в каждой точке, а затем – деформации.

Годограф скоростей позволяет проверить соответствие построенного поля линий скольжения кинематическим условиям. Для удобства и наглядности желательно строить годограф скоростей в том же масштабе, что и поле линий скольжения [1, 2].

2.3. Метод баланса работ

Определение метода: «При пластической деформации работа внешних сил на соответствующих им перемещениях равна работе внутренних сил, то есть А_внеш = А_деф».

В соответствии с определением вычислим в начале работу внешних сил. Так как в общем случае силы переменны, то необходимо определить элементарную работу.

,

где R – равнодействующая сил, приходящаяся на элементарную поверхность или объем; dU – малое перемещение.

Общую работу определим как интеграл. Так как внешние силы распределены по поверхности, то и интеграл определяем по этой поверхности (F).

. (5)

При решении конкретных задач обычно работу внешних сил вычисляют по каждой силе отдельно, а затем результат суммируют. Работа сил сопротивления при этом является отрицательной.