Многочлен Ньютона с конечными разностями

Рассмотрим случай равноотстоящих узлов интерполяции, т. е. – называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах . Составим разности значений функции:

Эти разности называются разностями первого порядка.

Можно составить разности второго порядка:

.

Аналогично составляются разности k-го порядка:

.

Выразим конечные разности непосредственно через значение функции:

Таким образом, для любого k можно записать:

Запишем эту формулу для значений разности в узле :

.

Используя конечные разности, можно определить

.

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в виде

.

График многочлена должен проходить через заданные узлы, то есть . Используем эти условия для нахождения коэффициентов многочлена:

Найдем отсюда коэффициенты :

Таким образом, для любого -го коэффициента формула примет вид

.

Подставляя эти формулы в выражение многочлена Ньютона, получим его следующий вид:

Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем переменную .

В этом случае

С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде

.

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию на всем отрезке изменения аргумента . Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученой формуле) ограничиться случаем , то есть использовать эту формулу для всех . Для других случаев вместо принять , если при . В этом случае интерполяционный многочлен можно записать в виде

Полученная формула называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед. Эту интерполяционную формулу обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим: разности вычисляются через значения функции , причем . Из-за этого при больших значениях мы не можем вычислить высших порядков .

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае , то есть , и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:

.

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом назад.

Пример. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить , где функция задана таблицей

х		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
у		0,1002	0,2013	0,8045	0,4108	0,5211

Решение.Составляем таблицу конечных разностей.

х	у
		0,1002
0,1	0,1002		0,0009
		0,1011		0,0012
0,2	0,2013		0,0021		-0,0002
		0,1032		0,0010		0,0001
0,3	0,3045		0,0031		-0,0001
		0,1063		0,0009
0,4	0,4108		0,0040
		0,1103
0,5	0,5211

Для вычисления положим в интерполяционном многочлене Ньютона вперед тогда и

Пример. Задана таблица. Найти .

х
	0,2588
		0,0832
	0,3420		-0,026
		0,0806		0,0006
	0,4226		-0,032
		0,0774		0,0006
	0,5		0,038
		0,0736
	0,5736

При вычислении положим

.

При вычислении положим

.

Оценим погрешности формул Ньютона вперед и назад:

где и

где .

Формулы приближенного дифференцирования основаны на первой интерполяционной формуле Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

,

где

Производя перемножение биномов, получим

так как , то

.

Аналогично можно вычислять производные функции любого порядка.

В некоторых случаях требуется находить производные функций в основных табличных точках . Так как табличное значение можно считать за начальное, то положив , имеем

,

Для производной многочлена Ньютона первого порядка погрешность может быть вычислена по формуле ,

где – число конечных разностей в многочлене Ньютона.

Пример. Найти функции , заданной таблично.

Решение.

х	у
	1,6990
		0,0414
	1,7404		-0,0036
		0,0378		0,0005
	1,7782		-0,0031
		0,0347
	1,8129

Здесь ; .

Вычисляя погрешность, получим:

.

Действительно, .

Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.

Приложение

8. По заданным значениям и найти прямую и параболу методом наименьших квадратов. Найти погрешность. Построить прямую и кривую в той же системе координат, где нанесены данные точки.

9. 1) Заданы значения функции в узлах , получающиеся делением отрезка на 5 частей. Найти значения функции при и с помощью интерполяционных формул Ньютона.

0,1	1,0	1,1	0,9	0,9	0,8	1,1	1,0	1,2	1,2	1,1	0,8	0,8	0,8	1,1
1,2	2,1	2,2	2,0	1,9	2,0	2,2	2,1	1,8	2,0	1,9	2,0	2,2	1,8	2,2
1,4	2,9	3,2	3,0	3,2	2,9	3,2	3,1	3,2	3,0	3,2	2,8	2,9	2,9	3,0
1,6	3,8	4,2	3,8	3,8	4,2	4,2	3,8	4,1	3,8	3,8	4,0	4,0	4,0	4,1
1,8	5,2	5,2	5,1	5,1	5,2	5,1	5,2	5,2	5,0	4,9	5,2	5,2	4,9	4,9
2,0	5,9	6,0	5,8	6,1	5,8	5,9	6,2	6,1	6,1	5,8	6,0	5,8	6,1	5,9

2) Заданы значения функции в точках . Найти значение функции при . Задачу решить с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа.