К_ Р и интерполяц. форм. Ньютона с конечными Р

Пусть ф. на задана табл. с равноотстоящими узлами . К_Р порядка k опред. рекуррентно через К_Р порядка k-1равенством (1). Здесь К_Р нулевого порядка берутся равными знач. ф. в узлах.

Лемма. РР в случае равноотстоящих узлов выраж. через К_Р по форм. (2).

В случае выбора в качестве узлов интерпол. табл. узлов формула Ньютона с Раздел.Р принимает вид (3)

Заменим в ней РР конечн. в соотв. с (2). Получим

(4). В форм. (4) сделаем замену переменной по правилу (4′). Форм. (4′) наз интерпол. форм. Ньютона для интерпол. в начале таблицы или для интерпол. вперед. Здесь имеется в виду, что при p = 0 первый узел интерпол. совп. с нач. узлом табл. и остал. интерпол. узлы распред. от него вниз (вперед) по таблице. В качестве узлов интерпол. возьмем теперь табл. узлы . Так. инт. форм. Ньютона с РР примет вид . (5)Т. к. РР явл. симметр. ф. своих аргументов, то по форм. (2) имеем . (6)

Заменим в форм. (5) РР конечн. в соотв. с форм. (6). Получим .(7)

В форм. (7) сделаем замену перемен. по правилу : (7′)

Форм. (7′) наз. инт. формулой Ньютона для инт-ия в конце табл. или для инт-ия назад. Здесь имеется в виду, что при первый узел инт-ии совпадает с последним узлом таблицы и остальные инт-ые узлы распол. от него вверх (назад) по таблице.

Зам. В кач. нач. узла инт-ии обычно выбир. табл. узел , ближайший к зад. знач. аргумента x. Далее выч. . Если , в качестве инт-ых берутся табл. узлы вниз от и выч. провтор. по инт. форм. Ньютона (4′) для инт. в начале табл. В случ. когда , в качестве инт. берутся табл. узлы вверх от и вычисления проводятся по инт. формуле Ньютона (7′) для инт-ия в конце табл.

Составление таблиц.

Для заданной ф. требуется постр. на табл. . При этом постоянный шаг табл. h должен быть выбран так, чтобы таблица допускала инт-ию многочл. степени k с задан. точностью . При решении поставленной задачи воспольз. полученной оценкой остаточн. члена ИМ Лагранжа степени k по узлам : ,(1) где , . Т. о., шаг табл. h следует выбрать так, чтобы удовл. нерав. .(2)Проведем замену переменного по прав. . Такое нерав. (2) принимает вид . Следов., искомое знач. шага табл. h должно удовл. нерав. (3).Здесь предпол., что знач. аргум. x отрезку инт-ии . Итак, задача нахожд. искомого знач. шага табл. h сводится к задаче нахождения max ф. на отрезке .В случае линейной инт-ии k=1 имеем . Решение ур. дает . Т.о., табл. допускает линейную инт-ию с заданной точн., если ее шаг удовл. нерав. .(4)

Для ф. имеем и при можно взять h=0.002. В случае квадратичной интерполяции k= 2имеем . Решение ур. дает .Получаем

. Т.о., табл. допускает квадратичную инт-ю с заданной точностью, если ее шаг удовл. нерав. (5) Если при квадр-ой инт-ии выбирать узлы инт-ии так, чтобы табл. узел был ближайшим к x,то будет выполн. нерав. или и при выборе шага нужно находить только . Поскольку , то ф. на монотонно убывает. Следов., . В резул. приходим к оценке шага табл. .(6)Для ф. имеем и при можно взять h= 0.02.Табл. ф. y=sinx, дополн. кв-ую инт-ию, требует для своего хранен. в 10 раз < объема памяти, чем табл. этой же ф., дополн. только лин-ую инт-ию.