Часть 3: уравнения прямых и плоскостей

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Раздел 2. Линейная алгебра

Курс лекций

и образец решения индивидуального задания

по высшей математике для бакалавров 1-го курса

очной формы обучения

Ростов-на-Дону

УДК 517(07)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Раздел 2. Линейная алгебра. Курс лекций и образец решения индивидуального задания по высшей математике для бакалавров 1-го курса очной формы обучения. – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. – 33 с.

Изложен курс лекций по линейным образам (уравнения прямых и плоскостей). Приведен образец индивидуального задания, снабженный подробным решением входящих в него задач.

Предназначены для бакалавров 1-го курса очной формы, проходящих обучение на кафедре высшей математики РГСУ, а также на математических кафедрах других вузов.

Электронная версия находится в библиотеке, ауд. 224.

УДК 517(07)

Составитель: д-р физ.-мат. наук, проф. И.В. Павлов  
  Рецензенты:   канд. физ.-мат. наук, доц. А.М. Можаев, канд. физ.-мат. наук, доц. Г.А. Власков  

Редактор Т.М. Климчук

Доп. план 2011 г., поз. 177

Подписано в печать 12.07.11. Формат 60´84/16. Бумага писчая. Ризограф.

Уч.-изд.л. 2,5. Тираж 50 экз. Заказ 379

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162

© Ростовский государственный

строительный университет, 2011

ЧАСТЬ 3: УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Лекция 10

Параметрические уравнения прямой в часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

Дано: точка часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и ненулевой вектор часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

Требуется: записать уравнение прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , проходящей через точку A и вектор часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru (предполагается, что начало вектора часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru совмещено с точкой A).

Решение. Рассмотрим на прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru так называемую "текущую" точку часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru с переменными координатами x, y и z. Наложим на переменные x, y и z такие условия, которые, с одной стороны, дадут возможность точке M попасть в любую точку прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и, с другой стороны, не позволят точке M выйти за пределы прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Полученные соотношения и будут представлять собой уравнения прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Имеем цепочку равносильностей (в этой цепочке символ часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru будет заменять слово "существует"):

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru вектора часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru линейно зависимы часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

Система уравнений

  часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru     (42)

называется параметрическими уравнениями прямой в часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru по точке Аи вектору часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Число t является в уравнениях (42) параметром, могущим принимать любое действительное значение. Вектор часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru (как и любой вектор, параллельный прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru ) называют направляющим вектором прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

Числовая иллюстрация. Запишем уравнения прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , проходящей через точку часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и вектор часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Подставив имеющиеся данные в уравнение (42), получим:

  часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .     (43)    

Применяя уравнения (42) к решению конкретных задач, следует, прежде всего, отдавать себе отчет в двух вещах.

1) Чтобы получать точки прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , нужно придавать параметру t различные действительные значения. Например, если требуется найти какие-либо три различные точки на прямой (43), то можно сначала выбрать самое простое значение параметра, а именно часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , и, подставив в (43), получить исходную точку A. Затем выбираем какие-нибудь еще два значения параметра, к примеру, часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , и получаем, соответственно, точки часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , лежащие на прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Если существует произвол в выборе точек, то ясно, что третье значение параметра брать не стоит.

2) Если нужно проверить, лежат ли, например, точки часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru на прямой (43), в каждом случае следует подставлять координаты данных точек вместо x, y и z в уравнение (43) и решать полученную систему 3-х уравнений с одним неизвестным. Если система окажется совместной, то точка лежит на прямой, а если несовместной – то не лежит.

Имеем для точки D:

  часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .    

Система совместна, часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и точке D соответствует значение параметра часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

Для точки E:

  часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .    

Система несовместна, следовательно часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

Пример 21. Записать уравнения прямой, проходящей через точки часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

Ясно, что направляющий вектор для часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru можно задать так:

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

   

Пример 22. Записать уравнение прямой, проходящей через точку часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru перпендикулярно векторам часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

Принимая во внимание теорему 15, направляющий вектор для часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru можно вычислить следующим образом:

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

Следовательно, часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

   

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

Дано: точка часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и ненулевой вектор часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

Требуется: записать уравнение плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , проходящей через точку A ортогонально вектору часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

Решение. Рассмотрим на плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru "текущую" точку часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru с переменными координатами x, y и z. Наложим на переменные x, y и z условие, которое, с одной стороны, даст возможность точке M попасть в любую точку плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и, с другой стороны, не позволит точке M выйти за пределы этой плоскости. Полученное соотношение и будет представлять собой уравнения плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Имеем цепочку равносильностей:

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .
Уравнение

  часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru (44)

называется уравнением плоскости по точке Aи нормальному вектору часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru(термины "нормальный вектор", "ортогональный вектор", "перпендикулярный вектор" означают одно и то же).

   

Числовая иллюстрация. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и имеющей нормальный вектор часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . По формуле (44) имеем:

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

   

Уравнение плоскости по точке и двум векторам

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

Дано: точка часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и два линейно независимых (неколлинеарных) вектора часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

Требуется: записать уравнение плоскости, проходящей через точку A и векторы часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru (предполагается, что начала векторов часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru совмещены с точкой A).

Решение. Сведем эту задачу к задаче построения уравнения плоскости по точке и нормальному вектору. Очевидно, в качестве нормального вектора можно выбрать вектор часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Взяв текущую точку часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и применяя рассуждения предыдущего пункта, а также определение 26 и теорему 16, получаем:

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

Уравнение

  часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru     (45)

называется уравнением плоскости по точке Aи двум векторам часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

   

Пример 23. Доказать, что прямые часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru параллельны, но не совпадают, и записать уравнение плоскости, проходящей через часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

1) Направляющие векторы данных прямых соответственно равны часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Так как отношения соответствующих координат равны часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то есть эти векторы линейно зависимы (коллинеарны). Значит, часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

2) Теперь чтобы доказать, что часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru не совпадают, достаточно проверить, что точка, лежащая на одной прямой, не лежит на другой. Положив часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru в первой системе, получаем точку часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Покажем, что часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Подставим координаты точки A во вторую систему: часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Эта система противоречива, поэтому часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

3) Запишем уравнение плоскости, проходящей через часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Положив часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru в параметрических уравнениях прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , получим точку часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Возьмем часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . По формуле (45) получаем искомое уравнение плоскости:

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

   

ЧАСТЬ 3: УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Лекция 11

Пример 24. Доказать, что прямые часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru пересекаются, и записать уравнение плоскости, проходящей через часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

Прежде всего отметим, что при записи уравнений данных прямых мы обозначили параметры разными буквами. В принципе, это нужно делать всегда для двух различных прямых. Этим правилом пренебрегают, когда в процессе решения эти параметры не входят одновременно в состав какого-либо одного уравнения (см. пример 23). Как мы увидим, при решении данного примера без четкого различения параметров не обойтись.

1) Покажем, что часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru пересекаются. Это означает, что должна существовать единственная точка часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , координаты которой удовлетворяют одновременно всем уравнениям первой и второй прямой. А это выполняется тогда и только тогда, когда следующая система имеет единственное решение:

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .
Единственное решение получено и, подставляя часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru в уравнения прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru (либо часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru в уравнения прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru ), получаем точку пересечения часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

2) Прямые часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru пересекаются в точке часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и имеют направляющие векторы часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Записывая уравнение плоскости по точке и двум векторам (см. формулу (45)), получаем:

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

   

Общее уравнение плоскости в часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

Определение 27. Уравнение часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , где A, B, C и D – действительные числа, причем A, B и C не равны нулю одновременно, называется общим уравнением плоскости в пространстве часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

   

Легко видеть, что изученные ранее уравнения плоскости (44) и (45) после преобразований сводятся к общему уравнению плоскости (это также наглядно видно в примерах 23 и 24).

Теорема 19. Вектор часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru является нормальным вектором плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

Доказательство. Пусть часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru – точка, лежащая на заданной плоскости, то есть часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Такая точка всегда существует. Например, если часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то можно положить часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru (случаи часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru рассматриваются аналогично). Пользуясь формулой (44), запишем уравнение плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , проходящей через точку часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru перпендикулярно вектору часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru :

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru
Так как часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и уравнение плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru принимает вид часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то есть исходная плоскость совпадает с плоскостью часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Значит нормальный вектор плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru также является нормальным вектором исходной плоскости.

   

Заметим, что из доказательства теоремы 19 следует более сильный вывод: плоскость, заданная общим уравнением, всегда может быть получена с помощью формулы (44).

Теорема 20. Пусть даны плоскость часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru : часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и прямая часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

1) часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru пересекаются тогда и только тогда, когда часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

2) часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru лежит в плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru тогда и только тогда, когда часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

3) часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru параллельна часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru (но не лежит в плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru ) тогда и только тогда, когда часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

Доказательство. Для нахождения общих точек плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru составляем систему уравнений:

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru
Преобразовывая последнее уравнение полученной системы, имеем:

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

Если часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и, подставляя это значение t в первые три уравнения системы, находим однозначно определенные координаты x, y и z точки пересечения часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Если часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то получаем верное равенство часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , которое означает, что каждая точка прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru лежит в плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Наконец, если часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , но часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то левая часть полученного уравнения равна нулю, а правая отлична от нуля. Это говорит о том, что исходная система несовместна, следовательно часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru не имеют общих точек, то есть часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

Геометрический смысл теоремы 20 очень прост. Так как часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru – направляющий вектор прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , а часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru – нормальный вектор плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то условие пункта 1) теоремы 20 означает, что часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то есть угол между часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru неравен часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . А это и означает, что часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru непараллельна часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Наоборот, в пунктах 2) и 3) часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то есть часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru параллельна часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru в широком смысле. Если при этом часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru (то есть точка часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , принадлежащая прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , принадлежит также и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru ), то ясно, что тогда и все точки часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru принадлежат часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . В противном случае часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru не имеют общих точек, то есть часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

Пример 25. Найти точку Q, симметричную точке часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru относительно плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

1) Запишем уравнение прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , проходящей через точку P перпендикулярно плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Так как в качестве направляющего вектора часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru можно взять нормальный вектор плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , который в силу теоремы 19 равен часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то параметрические уравнения часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru имеют вид: часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

2) Найдем точку пересечения часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Так же, как и в доказательстве теоремы 20, решим систему уравнений:

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

Таким образом, часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru То есть, часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

3) Пусть часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru – точка, симметричная точке P относительно плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Так как часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . То есть часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

   
часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

Пример 26. Найти точку Q, симметричную точке часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru относительно прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru : часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

1) Запишем уравнение плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , проходящей через точку P перпендикулярно прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Так как в качестве нормального вектора плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru можно взять направляющий вектор прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , который равен часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то по формуле (44): часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

2) Найдем точку пересечения часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и плоскости часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Решим систему уравнений:

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

Получаем: часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru То есть часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru

3) Пусть часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru – точка, симметричная точке P относительно прямой часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Так как часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , то часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . То есть часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru .

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Пусть заданы две плоскости: часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru , причем их нормальные векторы часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru и часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru неколлинеарны. Отсюда следует, что эти плоскости пересекаются, то есть система часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru определяет прямую в пространстве часть 3: уравнения прямых и плоскостей - student2.ru . Читателю предлагается самостоятельно разобраться, как из этой системы получить параметрические уравнения данной прямой.

Наши рекомендации