Перпендикулярность прямых и плоскостей
1.Перпендикулярными прямыми называются _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.Признак перпендикулярности двух прямых:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3.Справедливо ли утверждение:если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны? Ответ обоснуйте и сделайте чертеж.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4.Прямая перпендикулярна плоскости, если ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5.Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6.Дано прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Существуют ли такие грани, что ребро А1В1:
1) Лежит на этих гранях?
__________________________________
2) Перпендикулярно этим граням?
__________________________________
3) Параллельно этим граням?
__________________________________
7.Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 3,4 м, соединены перекладиной. Найдите длину перекладины, если высота одного столба 5,8 м, а другого – 3,9 м.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8.Заполните таблицу
| Понятие | Определение |
| Перпендикуляр | |
| Наклонная | |
| Основание перпендикуляра | |
| Основание наклонной | |
| Проекция наклонной | |
9.Теорема о трех перпендикулярах:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10.Прямая а перпендикулярна плоскости АВС; ∠АСВ = 90º; АС = 4; МD=3. Найти МС.
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11.Прямая а перпендикулярна плоскости АВС; треугольник АВС – равносторонний;
АВ = 2, МD = 4. Найти МС.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12.Прямая а перпендикулярна плоскости АВС; ∠МАВ = 60º; ∠САВ = 30º; АС = 6. Найти МВ.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
13.Прямая а перпендикулярна плоскости АВС; ABCD – прямоугольник; ∠МАВ = 45º; ∠АDM = 60 º; МD = 8. Найти: АB и AD.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
14.АС – перпендикуляр к плоскости α; АВ – наклонная. Найти: х.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
15.Дано: АС – перпендикуляр к плоскости α; АВ – наклонная. ∠АВС = 30 º. Найти: x и y.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Двугранный угол. Многогранные углы.
1.Заполните таблицу:
| Понятие | Определение |
| Двугранный угол | |
| Грани двугранного угла | |
| Ребро двугранного угла | |
| Линеный угол двугранного угла | |
2.Постройте чертежи:
| Прямой двугранный угол | Тупой двугранный угол | Острый двугранный угол |
3.Многогранным углом называется ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4.Постройте чертежи:
| Трехгранный угол | Четырехгранный угол | Многогранный угол |
5.Градусной мерой двугранного угла называется ___________________________________________________________________________
6.Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30º. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7.Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и ACB прямые, AC = CB = 5, DB = 
.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Многогранники.
1.Заполните таблицу
| Понятие | Определение |
| Многогранник | |
| Выпуклый многогранник | |
| Призма | |
| Прямая призма | |
| Правильная призма | |
| Высота призмы | |
| Диагональ призмы | |
| Диагональное сечение призмы | |
| Боковая поверхность призмы | |
| Прямой параллелепипед | |
| Прямоугольный параллелепипед | |
| Куб | |
2.В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45º. Найдите боковое ребро параллелепипеда.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3.Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4.Площадь поверхности куба равна 150. Найдите площадь его основания.
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5.Площадь поверхности куба равна 96. Найдите ребро куба.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6.Площадь полной поверхности куба равно 48. Найдите длину диагонали куба.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7.Диагональ куба равна 18. Найдите площадь одной его грани.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8.Найдите квадрат расстояния между вершинами А1 и С прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если АВ = 6, ВС = 3, АА1 = 4.
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что А1С = 12, АА1 = 4, АВ = 
. Найдите длину ребра В1С1.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10.Найдите расстояние между вершинами В и С1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если АВ = 6, АD = 3, AA1 = 4.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11.Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 14, а диагональ боковой грани – 10. Определите полную поверхность призмы.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12.Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 9, а полная поверхность ее равна 144. Определите сторону основания и боковое ребро.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
13.Заполните таблицу:
| Понятие | Определение |
| Пирамида | |
| Правильная пирамида | |
| Высота пирамиды | |
| Апофема | |
| Усеченная пирамида | |
14.Тетраэдром называется ________________________________________________________________________________________________________________________________________________
15.Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 8 см, стороны оснований 10 см и 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
16.В правильной треугольной пирамиде MABC D – середина ребра ВС. Известно, что АВ = 8, а площадь боковой поверхности равна 96. Найдите длину апофемы МD.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
17.В правильной треугольной пирамиде MABC D – середина ВС. Известно, что MD = 12. А площадь боковой поверхности равна 90. Найдите длину отрезка АВ.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
18.В правильной четырехугольной пирамиде MABCD известно, что МО = 12, АС = 10. Найдите длину бокового ребра МС.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
19.В правильной четырехугольной пирамиде MABCD MA = 20, высота МО = 12. Найдите длину BD.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Тела вращения.
1.Заполните таблицу:
| Понятие | Определение |
| Цилиндр | |
| Образующие цилиндра | |
| Радиус цилиндра | |
| Ось цилиндра | |
| Конус | |
| Радиус конуса | |
| Высота конуса | |
2.Площадь боковой поверхности цилиндра равна 20π, а высота – 4. Найдите диаметр основания.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3.Площадь боковой поверхности цилиндра равна 81π, а диаметр основания – 9. Найдите высоту цилиндра.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4.Высота конуса равна 8, а диаметр основания – 30. Найдите образующую конуса.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5.Найдите площадь боковой поверхности конуса, если образующая его равна 7, а площадь основания равна 36/π.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6.Диаметр основания конуса равен 56, а длина образующей – 53. Найдите высоту конуса.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7.Заполните таблицу:
| Понятие | Определение |
| Шар | |
| Сфера | |
| Радиус шара | |
| Диаметр шара | |
8.Шар с центром в точке О касается плоскости в точке В. Точка А лежит в этой плоскости. Найдите радиус шара, если ОА = 18 см, АВ = 11 см. Сделайте чертеж.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9.Радиус шара, вписанного в цилиндр, равен 15 см. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Объемы многогранников.
1.Закончите предложения:
Тело называется простым, если ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Равные тела имеют __________________________________________________________
Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объём этого тела равен______________________________________________________________________
Объем куба, ребро которого равно единице______________________________________
Объем любого параллелепипеда равен__________________________________________
2.Объем наклонной призмы равен 64 см2. Вычислите длину ребра равновеликого куба. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3.Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 84 см2, высота 7 см, а одна из его сторон основания в 3 раза больше другой. Вычислите объем тела.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4.Площадь поверхности куба равна 150. Найдите его объем.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5.В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм со сторонами 2 и 8 и острым углом 60º. Большая диагональ параллелепипеда равна 
. Определите его объем.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6.Объем правильной треугольной призмы равен 
, ее высота равна 8. Найдите сторону основания.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7.Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12. Объем призмы равен 75. Найдите длину бокового ребра.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8.Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 1 и наклонено к плоскости основания под углом 60º. Найдите объем пирамиды.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9.Закончите предложения:
Объем любой треугольной пирамиды равен______________________________________________________________________
Объем любой пирамиды равен______________________________________________________________________
Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: ___________________________________________________________________________
10.В правильной треугольной пирамиде боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30º, а сторона основания равна 20 см. Найдите объем пирамиды.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Объемы тел вращения.
1.Закончите предложения:
Объем цилиндра равен _______________________________________________________
Объем конуса равен ______________________ππ___________________________________
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: ___________________________________________________________________________
2.Диаметр жестяной банки 10 см, а объем 0,3 литра. Определите высоту банки.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3.Объем цилиндра равен 
, а высота - 
. Найдите диагональ осевого сечения.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5.Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6.Объем шара 300 см3. Найдите площадь его поверхности.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7.Как изменится объем шара, если радиус шара увеличить в 3 раза? Уменьшить в 5 раз?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________