Последовательность расчетов и графического изображения шкалы регрессии.

o определить коэффициент регрессии по формуле (см. п. 3). Например, следует определить, насколько в среднем будет меняться масса тела (в определенном возрасте в зависимости от пола), если средний рост изменится на 1 см.

o по формуле уравнения регрессии (см п. 4) определить, какой будет в среднем, например, масса тела (у, у₂, у₃...)* для определеного значения роста (х, х₂, х₃...).
________________
* Величину "у" следует рассчитывать не менее чем для трех известных значений "х".

При этом средние значения массы тела и роста (М_х, и М_у) для определенного возраста и пола известны

o вычислить сигму регрессии, зная соответствующие величины σ_у и r_ху и подставляя их значения в формулу (см. п. 6).

o на основании известных значений х₁, х₂, х₃ и соответствующих им средних значений у₁, у₂ у₃, а также наименьших (у — σ_rу/х)и наибольших (у + σ_rу/х) значений (у) построить шкалу регрессии.

Для графического изображения шкалы регрессии на графике сначала отмечаются значения х, х₂, х₃ (ось ординат), т.е. строится линия регрессии, например зависимости массы тела (у) от роста (х).

Затем в соответствующих точках у₁, y₂, y₃ отмечаются числовые значения сигмы регрессии, т.е. на графике находят наименьшее и наибольшее значения у₁, y₂, y₃.

10. Практическое использование шкалы регрессии. Разрабатываются нормативные шкалы и стандарты, в частности по физическому развитию. По стандартной шкале можно дать индивидуальную оценку развития детей. При этом физическое развитие оценивается как гармоничное, если, например, при определенном росте масса тела ребенка находится в пределах одной сигмы регрессии к средней расчетной единице массы тела — (у) для данного роста (x) (у ± 1 σ_Ry/x).

Физическое развитие считается дисгармоничным по массе тела, если масса тела ребенка для определенного роста находится в пределах второй сигмы регрессии: (у ± 2 σ_Ry/x)

Физическое развитие будет резко дисгармоничным как за счет избыточной, так и за счет недостаточной массы тела, если масса тела для определенного роста находится в пределах третьей сигмы регрессии (у ± 3 σ_Ry/x).

Модель «черного ящика»

Перейдем от первого определения системы к его визуальному эквиваленту. Во-первых, приведенное определение ничего не говорит о внутреннем устройстве системы. Поэтому ее можно изобразить в виде непрозрачного «ящика», выделенного из окружающей среды. Подчеркнем, что уже эта, максимально простая, модель по-своему отражает два следующих важных свойства системы: целостность и обособленность от среды.

Во-вторых, в определении системы косвенно говорится о том, что хотя «ящик» и обособлен, выделен из среды, но не является полностью от нее изолированным.

Рис.3.1 — Модель «черного ящика»

Иначе говоря, система связана со средой и с помощью этих связей воздействует на среду. Эти связи называются выходами системы. Подчеркнем еще раз, что выходы системы в данной графической модели соответствуют слову «цель» в словесной модели системы (в первом определении). Кроме того, система является средством, поэтому должны существовать и воздействия на нее, т.е. такие связи со средой, которые направлены извне в систему, которые называются входами системы.

В результате мы построили модель системы, которая получила название «черного ящика» (см. рис.3.1). Это название образно подчеркивает полное отсутствие сведений о внутреннем содержании системы. В модели задаются только входные и выходные связи системы со средой, т.е. множество X и Y входных и выходных переменных. Такая модель, несмотря на внешнюю простоту и на отсутствие сведений о внутреннем строении системы, часто оказывается очень полезной. Отметим, однако, что построение модели «черного ящика» не является тривиальной задачей, так как на вопрос о том, сколько и какие именно входы и выходы следует включать в модель, ответ не прост и не всегда однозначен.

Наиболее часто для описания статистической связи признаков используется линейная форма. Внимание к линейной связи объясняется четкой экономической интерпретацией ее параметров, ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов преобразуют (путем логарифмирования или замены переменных) в линейную форму.
В случае линейной парной связи уравнение регрессии примет вид: . Параметры данного уравнения а и b оцениваются по данным статистического наблюдения x и y. Результатом такой оценки является уравнение: , где , - оценки параметров a и b, - значение результативного признака (переменной), полученное по уравнению регрессии (расчетное значение).

Наиболее часто для оценки параметров используют метод наименьших квадратов (МНК).
Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (u) и независимой переменной (x) (см. предпосылки МНК).

Задача оценивания параметров линейного парного уравнения методом наименьших квадратов состоит в следующем: получить такие оценки параметров , , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака - y_i от расчетных значений – минимальна.
Формально критерий МНК можно записать так: .