Найти функцию распределения F(x)

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пример 2.1. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значения, заключенные в промежутке (2,5; 3,6).

Решение:Вероятность попадания величины Х в промежуток (2,5; 3,6) можно определить двумя способами:

1. .

.

или

2. .

.

Ответ: .

Пример 2.2. При каких значениях параметров А и В функция F(x) = A + Be^-x может быть функцией распределения для неотрицательных значений случайной величины Х.

Решение: Так как все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу , то для того, чтобы функция была функцией распределения для Х, должно выполняться свойство:

.

.

Ответ: .

Пример 2.3. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно 3 раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25;0,75).

Решение:Вероятность попадания величины Х в промежуток (0,25;0,75) найдем по формуле:

.

.

Далее вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно 3 раза примет значение, принадлежащее данному интервалу, вычисляется по формуле Бернулли:

.

.

Ответ: .

Пример 2.4. Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,3. Составить закон распределения числа попаданий при трех бросках.

Решение: Случайная величина Х – число попаданий в корзину при трех бросках – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле Бернулли:

.

.

.

.

.

Таким образом, получаем следующий закон распределения вероятностей случайной величины Х:

Пример 2.5. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.

Решение: Найдем закон распределения дискретной случайной величины Х – числа попаданий в мишень. Пусть событие – попадание в мишень первым стрелком, а – попадание вторым стрелком, и - соответственно их промахи.

.

.

.

Составим закон распределения вероятностей СВ Х:

Пример 2.6. Испытываются 3 элемента, работающих независимо друг от друга. Длительности времени (в часах) безотказной работы элементов имеют функции плотности распределения: для первого: F₁(t) =1-e^-0,1t , для второго: F₂(t) = 1-e^-0,2t , для третьего: F₃(t) =1-e^-0,3t . Найти вероятность того, что в интервале времени от 0 до 5 часов: откажет только один элемент; откажут только два элемента; откажут все три элемента.

Решение: Воспользуемся определением производящей функции вероятностей :

,

где .

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна , во втором и т. д., событие А появится ровно раз, равна коэффициенту при в разложении производящей функции по степеням . Найдем вероятности отказа и неотказа соответственно первого, второго и третьего элемента в интервале времени от 0 до 5 часов:

, .

, .

, .

Составим производящую функцию:

.

Коэффициент при равен вероятности того, что событие А появится ровно три раза, то есть вероятности отказа всех трех элементов; коэффициент при равен вероятности того, что откажут ровно два элемента; коэффициент при равен вероятности того, что откажет только один элемент.

Ответ: .

Пример 2.7. Дана плотность вероятности f(x)случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

Решение: Используем формулу:

.

При .

При .

При .

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Пример 2.8. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение: Случайная величина Х – число элементов, отказавших в одном опыте – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле Бернулли:

.

.

.

.

.

Таким образом, получаем следующий закон распределения вероятностей случайной величины Х:

Пример 2.9. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение:Случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных – может принимать значения: 1, 2, 3 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число деталей в партии;

-- число стандартных деталей в партии;

– число отобранных деталей;

-- число стандартных деталей среди отобранных.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.10. Случайная величина имеет плотность распределения

причем и не известны, но , а и . Найдите и .

Решение: В данном случае случайная величина X имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке [a, b]. Числовые характеристики X :

.

.

Следовательно, . Решая данную систему, получим две пары значений: . Так как по условию задачи , то окончательно имеем: .

Ответ: .

Пример 2.11. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех.

Решение:Математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам:

.

.

Возможные значения СВ (число договоров (из четырех) с наступлением страхового случая): 0, 1, 2, 3, 4.

Используем формулу Бернулли, чтобы вычислить вероятности различного числа договоров (из четырех), по которым были выплачены страховые суммы:

.

.

.

.

.

.

.

Ряд распределения СВ (число договоров с наступлением страхового случая) имеет вид:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Теперь вычислим числовые характеристики величины :

.

.

Ответ: , .

Пример 2.12. Из пяти роз две белые. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых роз среди двух одновременно взятых.

Решение:В выборке из двух роз может либо не оказаться белой розы, либо может быть одна или две белые розы. Следовательно, случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число роз;

-- число белых роз;

– число одновременно взятых роз;

-- число белых роз среди взятых.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.13. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу выбранных из общего числа.

Решение:Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число собранных агрегатов;

-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке;

– число выбранных агрегатов;

-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди выбранных.

.

.

.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.14. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Найти математическое ожидание и дисперсию числа просмотренных часов.

Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 1, 2, 3, 4. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Теперь вычислим числовые характеристики величины :

.

.

Ответ: , .

Пример 2.15. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает.

Решение: Случайная величина может принимать значения: . Так как набранную цифру абонент в дальнейшем не набирает, то вероятности этих значений равны .

Составим ряд распределения случайной величины:

	0,2

Вычислим математическое ожидание и дисперсию числа попыток набора номера:

.

.

Ответ: , .

Пример 2.16. Вероятность отказа за время испытаний на надежность для каждого прибора серии равна p. Определить математическое ожидание числа приборов, давших отказ, если испытанию подверглись N приборов.

Решение:Дискретная случайная величина X — число отказавших приборов в N независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления отказа равна p, распределена по биномиальному закону. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

.

Ответ: .

Пример 2.17. Дискретная случайная величина X принимает 3 возможных значения: с вероятностью ; с вероятностью и с вероятностью . Найти и , зная, что M(X) = 8.

Решение: Используем определения математического ожидания и закона распределения дискретной случайной величины:

Находим: .

.

Ответ: .

Пример 2.18. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание случайной величины X – числа партий, в каждой из которых содержится ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий.

Решение: В данном случае все проводимые опыты независимы, а вероятности того, что в каждой партии содержится ровно 4 стандартных изделия, одинаковы, следовательно, математическое ожидание можно определить по формуле:

,

где - число партий;

- вероятность того, что в партии содержится ровно 4 стандартных изделия.

Вероятность найдем по формуле Бернулли:

.

.

.

Ответ: .

Пример 2.19. Найти дисперсию случайной величины X – числа появлений события A в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M(X) = 0,9.

Решение: Задачу можно решить двумя способами.

1) Возможные значения СВ X : 0, 1, 2. По формуле Бернулли определим вероятности этих событий:

.

, , .

Тогда закон распределения X имеет вид:

Из определения математического ожидания определим вероятность :

.

Найдем дисперсию СВ X:

.

.

2) Можно использовать формулу:

.

.

.

Ответ: .

Пример 2.20. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25).

Решение: Вероятность попадания нормальной случайной величины Х на участок от до выражается через функцию Лапласа:

.

.

Ответ: .

Пример 2.21. Дана функция:

При каком значении параметра C эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X? Найти математическое ожиданий и дисперсию случайной величины X.

Решение:Для того, чтобы функция была плотностью распределения некоторой случайной величины , она должна быть неотрицательна, и она должна удовлетворять свойству:

.

Следовательно:

.

Вычислим математическое ожидание по формуле:

.

.

Вычислим дисперсию по формуле:

.

.

Ответ: , , .

Пример 2.22. Величина X задана плотностью вероятности в интервале (0;1), вне этого интервала . Найти: постоянный параметр С; математическое ожидание величины X.

Решение: Воспользуемся свойством плотности распределения случайной величины :

.

Следовательно:

.

Вычислим математическое ожидание по формуле:

.

.

Ответ: , .

Пример 2.23. Случайная величина X в интервале (0; ) задана плотностью вероятности ; вне этого интервала . Найти дисперсию X.

Решение:Найдем математическое ожидание и дисперсию СВ X по следующим формулам:

.

.

.

.

Ответ: .

Пример 2.24. Устройство состоит из N элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна p. Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение: Закон распределения дискретной случайной величины X — числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , называют биномиальным. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А одном испытании:

.

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Пример 2.25. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.25. Определить среднее квадратическое отклонение числа попаданий при трех выстрелах.

Решение: Так как производится три независимых испытания, и вероятность появления события А (попадания) в каждом испытании одинакова, то будем считать, что дискретная случайная величина X — число попаданий в мишень – распределена по биномиальному закону.

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Ответ: .

Пример 2.26. Среднее число клиентов, посещающих страховую компанию за 10 мин., равно трем. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 минут придет хотя бы один клиент.

Решение:Будем считать, что число клиентов на любом участке времени распределено по закону Пуассона.

Среднее число клиентов, пришедших за 5 минут: .

Вероятность того, что придет хотя бы один клиент:

.

Ответ: .

Пример 2.27. Среднее время настройки прибора составляет 5 минут и подчинено показательному распределению. Мастер уже потратил 5 минут на настройку очередного прибора. Найти вероятность того, что он затратит еще не менее трех минут на настройку этого прибора.

Решение: Запишем закон распределения времени настройки прибора в виде

С учетом того фактора, что , имеем усеченное показательное распределение в виде , где параметр определяется из соотношения .

Для нашего случая .

Получаем усеченное распределение в виде .

Тогда искомую вероятность найдем по соотношению

Ответ: .

Пример 2.28. В отдел заказов в среднем приходит 18 клиентов в час. Определить вероятность того, что за две текущие минуты в отдел заказов придет хотя бы один клиент.

Решение: Будем считать, что число клиентов на любом участке времени распределено по закону Пуассона.

Среднее число клиентов, пришедших за 2 минуты: .

Вероятность того, что придет хотя бы один клиент:

.

Ответ: .

Пример 2.29. Время ожидания заявки в очереди на процессор подчиняется показательному закону распределения со средним значением 20 секунд. Найти вероятность того, что очередная (произвольная) заявка будет ожидать процессор более 35 секунд.

Решение: В этом примере математическое ожидание , а интенсивность отказов равна .

Тогда искомая вероятность:

Ответ: .

Пример 2.30. Группа студентов в количестве 15 человек проводит собрание в зале, в котором 20 рядов по 10 мест в каждом. Каждый студент занимает место в зале случайным образом. Какова вероятность того, что не более трех человек будут находиться на седьмом месте ряда?

Решение:

Пример 2.31. В партии из 10 деталей имеется 3 нестандартных. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х - числа нестандартных деталей среди трех отобранных и найти ее математическое ожидание.

Решение: Дискретная случайная величина – число нестандартных деталей среди трех отобранных - может принимать значения: .

Общее число способов выбора трех деталей из десяти определяется числом сочетаний . Число способов выбора трех деталей, среди которых нестандартных, а - стандартных деталей ( , определяем по правилу произведения как .

Тогда согласно классическому определению вероятности:

где -- число деталей в партии;

-- число нестандартных деталей в партии;

– число отобранных деталей;

-- число нестандартных деталей среди отобранных.

.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой: