Построить полигон частот, гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

Домашний типовой расчет

по теме:

«Элементы математической статистики»

Выполнила ст. гр. ГНГ-10 Ларукова А.

Проверила Прудникова О. М.

Ухта 2012

Элементы математической статистики.

Задача

Выполнение задания

Известны х1 2 ,…,хn – результаты независимых наблюдений над случайной величиной х.

Х – проходка на долото

13 вариант

136.6
       

Сгруппируем эти данные в интегральную таблицу

а) Определить объем выборки

n = 76

б) Определить Хmaxи Xmin элементы выборки

Хmax = 307 Xmin = 2

Тогда размах выборки - R = Хmax - Xmin =305

в) По формуле Серджеса определяем количество интервалов

k = 1+3,322∙lg(n) = 7,25 ≈ 7

г) Рассмотрим шаг разбиения

h = R÷k = 305÷7 = 43,57

д) Вычислим начальное значение интервальной таблицы

Xнач = Xmin -0,5∙h = -19,79

е) Составим интервальную таблицу

где Х – проходка на долото

Xi - … (-19,79;29,78) (29,78;67,35) (67,35;110,92) (110,92;154,49) (154,49;198,06) (198,06;241,63) (241,63;285,2) (285,2;328,77)
ni
Xi ср 4,995 48,565 89,135 132,705 241,63

Построить полигон частот, гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

а) Построение полигона частот

Полигоном частот – называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (х1 ,n1), (х2 ,n2), (хk ,nk). Для построения полигона на оси абсцисс откладывают варианты хi , а на оси ординат – соответствующе им частоты ni . Точки (хi , ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

б) Построим гистограмму частот

Гистограммой частот – называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h , а высоты равны отношению ni /n (плотность частоты).

в) Построить моду и медиану

Модой – называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медиана – называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

Хi (-19,79;29,78) (29,78;67,35) (67,35;110,92) (110,92;154,49) (154,49;328,77)
ni
ni /h 0,8 0,44 0,16 0,16 0,18

г) Найдем и построим эмпирическую функцию распределения

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) – называют функцию F*(x) определяющую частоту события Х<х. F*(x) = nx /n

д) Построим кумуляту

Кумулята – это график составленный из накопительных частот то есть это сглаженное изображение эмпирической функции распределения.

Хi (-19,79;29,78) (29,78;67,35) (67,35;110,92) (110,92;154,49) (154,49;328,77)
ni
ni /n 35/76 19/76 7/76 7/76 8/76
Xi ср 4,995 48,565 89,135 132,705 241,63

Найдем несмещенную оценку математического ожидания и дисперсии случайной величины х

Х – проходка на долото

а) Несмещенная оценка

Xнесм =

б) исправленная дисперсия

=

(Xвыб)2 =363,609

в) «Исправленное» среднее квадратическое отклонение.

11691,37 = 11847,26

Найти интервальные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины х с надёжностью = 0,9 и = 0,95

X – проходка на долото; n = 76; Xвыб = 60,3; S = 108,85; = 11691,37; =

а) Найдем интервальные оценки математического ожидания

1) Ф(t) = =

2)

б) Найдем интервальные оценки дисперсии

1) = 0,99; q( ;n) = (0,99;76)

82,18 133,45

6753,55 17808,9

(6753,55;17808,9)

2) = 0,95; q( ;n) = (0,95;76)

89,91 126,37

8083,81 15969,38

(8083,81;15969,38)

Выдвинуть гипотезу об истинном значении параметра нормального распределения и проверить ее при уровне значимости

Выдвинем гипотезу об истинном значении параметра нормального распределения и проверим ее при уровне значимости

примем

Проверим гипотенузу

При конкурирующей гипотенузе

Решение:

а) вычислим наблюдаемое значение критерия

б) при найдем

нет основания отвергнуть гипотезу ,т.е. выборочная средняя незначимо отличается от гипотетической (предполагаемой)генеральной средой

Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины x проверить ее по критерию (Пирсона) при уровне значимости

Выведем гипотенузу о нормальном законе распределения случайной величины х и проверим ее по критерию при уровне значимости имеем

нормальный закон распределения наблюдается

нормальный закон распределения не наблюдается

а) Составим вспомогательную таблицу вида

Частичный интервал Нормированный правый конец Нормированный левый конец Теоретическая вероятность Теоретическая частота Эмпирическая частота
(-19,79; 29,78) -0,28 -0,74 -0,1103 -0,2703 0,16 12,16
(29,78; 67,35) 0,06 -0,28 0,0239 -0,1103 0,1342 10,2
(67,35; 110,92) 0,47 0,06 0,1808 0,0239 0,1569 11,92
(110,92; 154,49) 0,87 0,47 0,3078 0,1808 0,127 9,65
(154,49; 328,77) 2,47 0,87 0,4932 0,3078 0,1854 14,09

б) Сравним эмпирическую и теоретическую частоты.

эмпирическая частота
теоретическая частота 12,16 10,2 11,92 9,65 14,09

Вывод: расхождение случайно

   
12,16 22,84 521,67 42,9
10,2 8,8 77,44 7,59
11,92 -4,92 24,21 2,03
9,65 -2,65 7,02 0,73
14,09 -6,09 37,09 2,63

Задача

Применяя метод наименьших квадратов на основе экспериментальных данных найти эмпирическую формулу, выражающую зависимость y от x. Построить теоретическую зависимость и экспериментальные точки на одном графике.

x -2 -1
y 5,2 2,7 -0,2 -0,8 -2,7 -5,3 -7,4

1) Для оценки вида функциональной зависимости представим данные таблицы на координатной плоскости.

Основываясь на график, можно предполагать, что данная функция зависимости является линейной

2) Предусматриваем нахождения параметров ( этих зависимостей из условий минимума алгебраической суммы квадратического отклонения

3)Где коэффициенты найдем из решения системы для квадратической зависимости:

n-количество пар в таблице

4)Для решения системы следует составить вспомогательную таблицу

-2 5,2 -10,4
-1 2.7 -2,7
-0,2
-0,8 -0,8
-2,7 -5,4
-5,3 -15,9
-7,4 -29,6
-8,5 -64,8

0,0225;

Задача

При исследовании коэффициента трении полимерного волокна для двух образцов были получены следующие силы трения. Можно ли считать, что в среднем образцы одинаковы.

1 обр 5,01 4,89 4,89 4,88 4,88 4,92
2 обр 4,88 5,00 5,02 4,90 4,90 4,95

Ход решения: 1) Вычислить

Наши рекомендации