Образец выполнения задания № 2
Задача. Дана функция и значения аргумента , . Найти:
1) Точку , в которой функция не определена.
2) Найти односторонние пределы функции в точке .
3) Найти предел функции при и при
4) Сделать схематический чертеж.
Решение: Исследуем на непрерывность в точке . По определению: функция непрерывна в точке , если .
1) Знаменатель дроби приравняем к нулю, получим . Значит, - точка, в которой функция не определена.
2) Находим предел слева от точки :
Итак, при происходит - график уходит вверх (рис. 5).
Находим предел справа от точки
Итак, при происходит - график приближается сверху к точке (рис.6).
3)
х |
у |
Рис. 6
Образец выполнения задания № 3
Задача.Найти производную функций.
1) 2) 3)
4) 5)
Решение:
1)
2)
3)
4) Здесь основание степени и показатель – переменные величины. Перейдем к основанию е: Тогда
5) Данное уравнение задает в неявном виде функцию у. Найдем ,выполнив цепочку преобразований.
в левой части соберем члены, содержащие
Образец выполнения заданий № 4
Задача.Найти и
1) 2)
Решение.
1)
или
2) Здесь функции я задана параметрическими уравнениями.
Образец выполнения заданий № 5
Задача.На какой высоте надо повесить фонарь над центром круговой площади радиуса , чтобы площадка была максимально освещена у ее границы?
Решение.Из курса физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения (угла, образованного нормально к поверхности с направлением светового потока), т.е.
, где k зависит от силы источника света, помещенного в точке А (рис. 7). Из треугольника ОАВ имеем и . Приняв h за независимую переменную, получим .
Исследуем функцию на экстремум с помощью первой производной:
; при .
Так как в промежутке и в промежутке , то при функция имеет максимум, т.е. при значении освещенность в точке В является наибольшей.
Рис. 7
Задания к контрольной работе №2
Задание № 1
Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).
1. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
2. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
3. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
4. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
5. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
6. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
7. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
8. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
9. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
10. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
11. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
12. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
13. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
14. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
15. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
16. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
17. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
18. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
19. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
20. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
21. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
22. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
23. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
24. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
25. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
26. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
27. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
28. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
29. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
30. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Задание № 2
В задачах 1-15 указываются функция и два значения аргумента . Требуется: 1) найти предел функции при приближении к каждому из заданных значений слева и справа; 2) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений ; 3) сделать схематический чертеж.
В задачах 16-30 функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти скачок функции в каждой точке разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
1. ; ,
2. ; ,
3. ; ,
4. ; ,
5. ; ,
6. ; ,
7. ; ,
8. ; ,
9. ; ,
10. ; ,
11. ; ,
12. ; ,
13. ; ,
14. ; ,
15. ; , .
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Задание № 3
Найти производные данных функций.
1. а)
б)
в)
г)
д) .
2. а)
б)
в)
г)
д) .
3. а)
б)
в)
г)
д) .
4. а)
б)
в)
г)
д) .
5. а)
б)
в)
г)
д) .
6. а)
б)
в)
г) ;
д)
7. а)
б)
в)
г)
д) .
8. а)
б)
в)
г)
д)
9. а)
б)
в)
г)
д)
10. а)
б)
в)
г)
д)
11. а)
б)
в)
г)
д)
12. а)
б)
в)
г)
д)
13. а)
б)
в)
г)
д)
14. а)
б)
в)
г)
д)
15. а)
б)
в)
г)
д)
16. а)
б)
в)
г)
д)
17. а)
б)
в)
г)
д)
18. а)
б)
в)
г)
д)
19. а)
б)
в)
г)
д) .
20. а)
б)
в)
г)
д)
21. а)
б)
в)
г)
д) .
22. а)
б)
в)
г)
д)
23. а)
б)
в)
г)
д)
24. а)
б)
в)
г)
д)
25. а)
б)
в)
г) д)
26. а)
б)
в)
г)
д)
27. а)
б)
в)
г)
д)
28. а)
б)
в)
г)
д)
29. а)
б)
в)
г) ;
д) .
30. а) ;
б) ;
в)
г) ;
д) .
Задание № 4
Найти и .
1. а)
б) , .
2. а)
б)
3. а)
б) , .
4. а)
б) .
5. а)
б) , .
6. а)
б) .
7. а)
б)
8. а)
б)
9. а)
б)
10. а)
б) .
11. а)
б) , .
12. а)
б)
13. а)
б) , .
14. а)
б)
15. а)
б) , .
16. а)
б)
17. а)
б) , .
18. а)
б)
19. а)
б) , .
20. а)
б)
21. а)
б) , .
22. а)
б)
23. а)
б) , .
24. а)
б)
25. а)
б) , .
26. а)
б)
27. а)
б) , .
28. а)