Взаимное положение плоскостей

Общим случаем взаимного положения двух плоскостей является их пересечение. В частном случае, когда линия пересечения удалена в бесконечность, плоскости становятся параллельными. Параллельные плоскости совпадают при сокращении расстояния между ними до нуля.

5.4.1. Параллельные плоскости

Плоскости будут параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На рис. 5.6, а плоскости S и S^/ параллельны, так как m // m^/ и n // n^/.

Пример решения задачи на комплексном чертеже представлен на рис. 5.6, б.

Пример. Через точку A (рис. 5.6, б) требуется провести плоскость S^/, параллельную заданной плоскости S (DKLM). Решение. Проводим через точку A две прямые m и n, параллельные двум любым прямым, находящимся в заданной плоскости, например сторонам треугольника KM и KL, соответственно. Пересекающиеся прямые m и n задают искомую плоскость S^/(mÇn).

5.4.2. Пересекающиеся плоскости

Линия пересечения двух плоскостей определяется

· двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям;

· одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии.

В обоих случаях задача заключается в нахождении точек, общих для двух плоскостей. Задача на пересечение двух плоскостей называется второй позиционной задачей. Она может быть сведена к решению первой позиционной задачи, рассмотренной ранее, по одному из следующих вариантов.

Вариант 1. 1) В одной из плоскостей, например S (рис. 5.7), выбирают две произвольные прямые 12 и 34; 2) определяют точки M и K пересечения этих прямых с другой плоскостью – D; точки M и K задают искомую прямую.

Вариант 2. 1) Выбирают по одной прямой в каждой из заданных плоскостей, например12ÎD, а 34ÎS (рис. 5.8); 2) определяют точки M и K пересечения этих прямых с соответствующими плоскостями – M=12ÇS, K=34ÇD; точки M и K определяют искомую прямую.

Рассмотрим решение поставленной задачи на комплексном чертеже для плоскостей общего положения.

Пусть даны плоскости S(mÇn) и D(a // b) положения (рис. 5.9). Проведем в плоскости S прямую 12 и построим точку пересечения ее с плоскостью D. Для этого в плоскости D построим прямую 45, конкурирующую с 12 относительно П₁. Прямые 12 и 45 задают горизонтально проецирующую плоскость. В пересечении прямых 12 и 45 получаем точку K искомой линии пересечения. Для построения точки M линии пересечения вводим в плоскости S прямую c, параллельную 12 и проходящую через точку 3. Конкурирующей с ней и принадлежащей плоскости D является прямая t. В пересечении прямых t и d находим точку M. Точки K и M определяют искомую прямую.

Задача существенно упрощается, если одна из плоскостей занимает проецирующее положение. На рис. 5.10 плоскость S(DABC) занимает общее положение, а плоскость D(DEFG) – горизонтально проецирующее. Так как искомая прямая принадлежит обеим плоскостям, то на П₁ ее проекция будет совпадать с горизонтальным следом плоскости D. Фронтальная проекция искомой линии определена из условия принадлежности ее плоскости S.

При взгляде на плоскость П₂ по горизонтальной проекции видно, что часть треугольника ABC находится перед плоскостью D. Следовательно, на П₂ треугольник K₂C₂M₂ является видимым. Он выделен штриховкой. Видимыми на П₂ а, соответственно выделены штриховкой, и треугольники плоскости S в окрестностях точек A₂ и B₂. Это связано с тем, что они находятся вне треугольника EFG и им не перекрываются при взгляде на П₂.