Расстояние от точки до фигуры (точки, прямой, плоскости)

Приведем сведения из планиметрии, необходимые для решения обозначенных задач.

1. Длина отрезка есть расстояние между его концами.

2. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Задача.Определить длину отрезка АВ (рис. 8.1).

В п. 4 было приведено решение этой задачи методом замены плоскостей проекций. Рассмотрим другое решение – решение методом прямоугольного треугольника. Его обоснование выполним, опираясь на указанный метод замены. Выполняя решение данной задачи методом замены, получим А₄В₄ – искомую длину. Видим, что в соответствии с методом замены Е₄В₄ = b. Поэтому, отложив на линии В₁В₄ ^ х₁ от точки В₁ отрезок B₁D₁ = E₄В₄ = b, получим прямоугольный треугольник А₁В₁D₁ , в котором А₁D₁ = А₄В₄ , т.е. длина гипотенузы А₁D₁ есть искомая длина. Следовательно, длину отрезка АВ можно определить на плоскости проекций П₁ используя расстояние b, снятое на плоскости проекций П₂ . При этом замена плоскостей проекций с осью х₁ не нужна. Аналогично можно определить искомую длину на плоскости П₂ . Для этого выстраиваем прямоугольный треугольник B₂A₂C₂ , у которого С₂А₂ = а, где а определено на П₁ . В итоге получаем В₂С₂ = В₁С₁ – искомая длина отрезка АВ. Понятно, что необходимо строить лишь один из двух приведенных прямоугольных треугольников.

Задача. Даны прямая АВ и точка Е вне прямой (рис. 8.2). Требуется определить расстояние r (Е, АВ).

Проекционный алгоритм решения может быть следующим:

1) методом замены плоскостей проекций определяется длина отрезка АВ. На П₄ она равна А₄В₄ ;

2) строится дополнительная на П₄ проекция Е₄ точки Е;

3) вводится новая система плоскостей проекций П₄, П₅ такая, что ее ось проекций х₂ перпендикулярна А₄В₄;

4) на П₅ строятся дополнительные

проекции отрезка АВ и точки Е. Проекциями будут соответственно точки А₅ = В₅ и Е₅ .

Расстояние r(F₅, Е₅) является искомым расстоянием между данными прямой и точкой. Возвращаем затем последовательно проекции отрезка EF на П₄, П₁, П₂. Для этого проводим вначале E₄F₄ // x₂ , а затем строим: (F₅, F₄ ) Þ F₁ ; (F₄ , F₁ ) Þ F₂.

В итоге получаем E₁F₁ , E₂F₂ – основные проекции отрезка EF, длина которого есть искомое расстояние. Необходимо отметить, что если не учитывать полученные построения на П₅ , то оставшиеся построения на П₂, П₁ и П₄ соответствуют решению задачи о проведении прямой EF через данную точку Е, пересекающей под 90° данную прямую АВ.

Задача. Даны плоскость Σ (ΔАВС) и точка Е. Определить расстояние от точки Е до плоскости Σ (рис. 8.3).

Решение задачи может быть выполнено методом замены плоскостей проекций. Проекционный алгоритм решения в этом случае следующий:

1) в плоскости Σ строится линия уровня,

например h(h₁, h₂) , так, что h₂ // x;

2) вводится новая система плоскостей проекций П₁, П₄ с осью х₁ так, что х₁ ^ h₁;

3) на П₄ строятся дополнительные проекции заданных фигур – В₄С₄ для ΔАВС и Е₄ для точки Е;

4) длина перпендикуляра E₄F₄ есть искомое расстояние r(Е, Σ).

Для полноты решения строим проекции отрезка EF на основных плоскостях проекций. Для этого строим вначале E₁F₁ // х₁ , а затем (F₄ , F₁) Þ F₂ ; E₂F₂ , E₁F₁ – основные проекции отрезка EF длины r.