Смешанное произведение векторов

Определение:Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов Смешанное произведение векторов - student2.ru называется число, определяемое по формуле: Смешанное произведение векторов - student2.ru .

Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. Смешанное произведение векторов - student2.ru .

2.При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. Смешанное произведение векторов - student2.ru .

3.Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов Смешанное произведение векторов - student2.ru : Смешанное произведение векторов - student2.ru =0.

4.Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. Смешанное произведение векторов - student2.ru .

Если известны координаты векторов Смешанное произведение векторов - student2.ru ,то смешанное произведение находится по формуле: Смешанное произведение векторов - student2.ru

Пример:Вычислить смешанное произведение векторов Смешанное произведение векторов - student2.ru .

Решение: Смешанное произведение векторов - student2.ru

Способы задания прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Геометрический смысл знака выражения Смешанное произведение векторов - student2.ru .

Смешанное произведение векторов - student2.ru Смешанное произведение векторов - student2.ru Смешанное произведение векторов - student2.ru Смешанное произведение векторов - student2.ru

Теорема. Пусть

Смешанное произведение векторов - student2.ru и Смешанное произведение векторов - student2.ru

– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда

1) если Смешанное произведение векторов - student2.ru , то прямые Смешанное произведение векторов - student2.ru и Смешанное произведение векторов - student2.ru совпадают;

2) если Смешанное произведение векторов - student2.ru , то прямые Смешанное произведение векторов - student2.ru и Смешанное произведение векторов - student2.ru

параллельные;

3) если Смешанное произведение векторов - student2.ru , то прямые пересекаются.

Доказательство. Условие Смешанное произведение векторов - student2.ru равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:

Смешанное произведение векторов - student2.ru . Поэтому, если Смешанное произведение векторов - student2.ru , то Смешанное произведение векторов - student2.ru и прямыепересекаются.

Если же Смешанное произведение векторов - student2.ru , то Смешанное произведение векторов - student2.ru , Смешанное произведение векторов - student2.ru , Смешанное произведение векторов - student2.ru иуравнение прямой Смешанное произведение векторов - student2.ru принимает вид:

Смешанное произведение векторов - student2.ru или Смешанное произведение векторов - student2.ru , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности Смешанное произведение векторов - student2.ru , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.

Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай Смешанное произведение векторов - student2.ru , т.е. прямые параллельны.

Теорема доказана.

Заметим, что если прямые пересекаются, то для нахождения координатих точки пересечения достаточно решить систему двух уравнений сдвумя неизвестными:

Смешанное произведение векторов - student2.ru . (4)

Следствие. Пусть Смешанное произведение векторов - student2.ru – определитель системы (4). Если Смешанное произведение векторов - student2.ru , то прямые пересекаются в одной точке и система (4) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

Смешанное произведение векторов - student2.ru , (5)

где Смешанное произведение векторов - student2.ru , Смешанное произведение векторов - student2.ru .

Если Смешанное произведение векторов - student2.ru , то прямые или параллельны и тогда система (4) не имеет решений, или прямые совпадают и тогда система (4) имеет бесконечно много решений.

Доказательство. По определению определителя второго порядка

Смешанное произведение векторов - student2.ru .

Если Смешанное произведение векторов - student2.ru , то Смешанное произведение векторов - student2.ru и Смешанное произведение векторов - student2.ru , т.е. прямые пересекаются икоординаты точки пересечения можно найти по формулам Крамера (5).

Если же Смешанное произведение векторов - student2.ru , то Смешанное произведение векторов - student2.ru и Смешанное произведение векторов - student2.ru , т.е. либо прямые параллельны и тогда система не может иметь ни одного решения, либо прямыесовпадают и тогда система (4) состоит из одного уравнения и решениями такой системы являются координаты любой точки, лежащей на прямой, а их бесконечно много.

следствие доказано.

Пример. Выяснить взаимное расположение двух прямых

Смешанное произведение векторов - student2.ru и Смешанное произведение векторов - student2.ru

и если они пересекаются, найти их точку пересечения.

Решение. Решим систему

Смешанное произведение векторов - student2.ru .

Определитель системы

Смешанное произведение векторов - student2.ru ,

следовательно прямые пересекаются. Вычисляем координаты точки пересечения:

Смешанное произведение векторов - student2.ru , Смешанное произведение векторов - student2.ru ,

Смешанное произведение векторов - student2.ru , Смешанное произведение векторов - student2.ru .

Ответ. Прямые пересекаются в точке Смешанное произведение векторов - student2.ru .

Пусть две прямые Смешанное произведение векторов - student2.ru и Смешанное произведение векторов - student2.ru заданы общими уравнениями

Смешанное произведение векторов - student2.ru и Смешанное произведение векторов - student2.ru .

Так как нормальным вектором прямой Смешанное произведение векторов - student2.ru является вектор Смешанное произведение векторов - student2.ru , а нормальным вектором прямой Смешанное произведение векторов - student2.ru является вектор Смешанное произведение векторов - student2.ru , то задача об определении угла между прямыми Смешанное произведение векторов - student2.ru и Смешанное произведение векторов - student2.ru сводится к определению угла Смешанное произведение векторов - student2.ru между векторами Смешанное произведение векторов - student2.ru и Смешанное произведение векторов - student2.ru .

Из определения скалярного произведения Смешанное произведение векторов - student2.ru и из выражения в координатах длин векторов Смешанное произведение векторов - student2.ru и Смешанное произведение векторов - student2.ru и их скалярного произведения получим

Смешанное произведение векторов - student2.ru . (1)

Итак, угол между прямыми, заданными общими уравнениями, определяется с помощью формулы (1).

Пример 1. Найти угол между прямыми, заданными общими уравнениями Смешанное произведение векторов - student2.ru и Смешанное произведение векторов - student2.ru .

Решение. Используя формулу (1), получаем:

Смешанное произведение векторов - student2.ru

Получаем угол Смешанное произведение векторов - student2.ru .

Наши рекомендации