Смешанное произведение векторов
Определение.Смешанным произведением векторов на и на (будем обознрачать ) называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :
.
Геометрический смысл смешанного произведения описывает следующее утверждение.
Теорема.Пусть , , - ненулевые некомпланарные векторы. Тогда смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построеннного на этих векторах, отложенных из одной точки, взятому со знаком плюс, если тройка векторов , , - правая, и со знаком минус, если эта тройка – левая.
Доказательство. Восстановим параллелепипед, как указано в формулировке теоремы (см. рисунок). Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна числу по определению векторного произведения. Тогда объем параллелепипеда определяется равенством:
,
где - высота параллелепипеда. Пусть - угол между векторами и . Тогда
,
если тройка векторов , , - правая, и
,
Если указанная тройка векторов – левая. В результате имеем:
,
если тройка векторов , , - правая, и
,
если эта тройка векторов – левая. ■
Рассмотрим основные свойства смешанного произведения.
1. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов , , является нулевым или если рассматриваемые векторы компланарны.
Доказательство.
Необходимость. Пусть . Предположим, что , , - ненулевые некомпланарные векторы. Тогда в соответствии с последней теоремой объем параллелепипеда, построенного на рассматриваемых векторах равен числу . Следовательно, это число больше нуля, и , что противоречит условию. Значит либо один из векторов является нулевым, либо векторы , , компланарны.
Достаточность.Если хотя бы один из векторов , , - нулевой, то равенство нулю смешанного произведения очевидно. Если векторы , , - компланарны, то вектор ортогонален вектору . Следовательно,
.■
2. Если в смешанном произведении поменять любые два вектора местами, то изменится лишь знак этого произведения.
Доказательство. Если в смешанном произведении хотя бы один из векторов является нулевым или эти векторы компланарны, то утверждение данного свойства сразу следует из предыдущего свойства. Пусть , , - ненулевые некомпланарные векторы. Воспользуемся теоремой итого пункта. При рассмотрении параллелепипеда, построенного на рассматриваемых векторах, замечаем, что любая замена местами векторов приводит лишь к смене ориентации тройки векторов , , . Следовательно, если до такой замены смешанное произведение равнялось объему параллелепипеда, то после замены оно будет равняться этому объему с противоположным знаком, и наоборот. Таким образом, при этой замене меняется лишь знак смешанного произведения. ■
Для нахождения смешанного произведения обычно пользуются следующим утверждением.
Теорема.Пусть в ортонормированном базисе , , заданы три вектора:
,
,
.
Тогда смешанное произведение может быть найдено по формуле:
.
Доказательство. Воспользуемся определением смешанного произведения и формулой для нахождения векторного произведения. В результате будем иметь:
. ■
Пример.Даны вершины тетраэдра , , и . Найти его объем и высоту, опущенную из вершины .
∆ Будем считать, что тетраэдр построен на векторах , и . Тогда его объем, равный шестой части объема параллелепипеда, определяется формулой:
.
Найдем координаты введенных векторов:
,
,
.
Тогда смешанное произведение векторов , и равно:
.
Соответственно,
.
Для нахождения высоты тетраэдра воспользуемся известной формулой:
,
где - высота тетраэдра, опущенная из вершины . Необходимо найти площадь треугольника . Будем считать, что он построен на векторах и . Тогда
.
Воспользуемся формулой для нахождения векторного произведения. В результате будем иметь:
.
Следовательно,
.
Тогда
. ▲