Примеры решения и оформления задач

Расчётно-графическая работа по механике

Основные формулы.

Кинематика материальной точки

Примеры решения и оформления задач - student2.ru В Декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положение точки А в данный момент времени характеризуется тремя координатами x, y, z или радиусом - вектором Примеры решения и оформления задач - student2.ru , проведенным из начала координат в данную точку (Рис. 1).

При движении материальной точки её координаты с течением времени изменяются. В общем случае её движение определяется скалярными уравнениями:

x = x(t), y = y(t), z = z(t) (1)

Эти уравнения эквивалентны векторному уравнению

Примеры решения и оформления задач - student2.ru (2)

где х, у, z – проекции радиуса-вектора на оси координат, а Примеры решения и оформления задач - student2.ru- единичные векторы, направленные по соответствующим осям. Уравнения (1) и (2) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Мгновенная скорость в общем случае движения определяется первой производной от радиус-вектора по времени:

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Примеры решения и оформления задач - student2.ru - вектор мгновенной скорости, Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Проекции скорости: Примеры решения и оформления задач - student2.ru Примеры решения и оформления задач - student2.ru Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Мгновенное ускорение: Примеры решения и оформления задач - student2.ru Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Кинематика вращательного движения

Угловая скорость - векторная величина, характеризующая скорость вращения тела, численно равная первой производной псевдовектора угла поворота Примеры решения и оформления задач - student2.ru по времени t:

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Угловое ускорение — векторная величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Тангенциальное (касательное ) ускорение Примеры решения и оформления задач - student2.ru (составляющая ускорения)

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Нормальное (центростремительное) ускорение (составляющая ускорения) - векторная величина, характеризующя изменение направления скорости:

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Модуль полного ускорения:

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Динамика вращательного движения

Основное уравнение динамики вращательного движени (Второй закон Ньютона)

Примеры решения и оформления задач - student2.ru ,

где: Примеры решения и оформления задач - student2.ru -вектор импульса.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Примеры решения и оформления задач - student2.ru (1)

где Примеры решения и оформления задач - student2.ru - суммарный момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; J - момент инерции тела относительно той же оси; Примеры решения и оформления задач - student2.ru - угловое ускорение.

В динамике вращательного движения различают два понятия: момент силы относительно точки и момент силы относительно оси вращения.

Момент силы относительно точки О определяется как векторное произведение

Примеры решения и оформления задач - student2.ru ,

где Примеры решения и оформления задач - student2.ru - сила, Примеры решения и оформления задач - student2.ru - радиус-вектор, проведенный из точки О, в точку приложения силы.

Момент силы относительно оси вращения есть проекция Примеры решения и оформления задач - student2.ru на произвольную ось z, которая проходит через точку О:

Примеры решения и оформления задач - student2.ru .

Где l – плечо силы, то есть кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы.

Момент инерции тела

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

или

Примеры решения и оформления задач - student2.ru ,

где Dmi - масса элемента; ri - расстояние от элемента до оси вращения; r - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения. Таким образом, задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию.

Для расчетов моментов инерции относительно произвольной оси может быть использована теорема Штейнера. Согласно ей, момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела Jc относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Момент импульса Примеры решения и оформления задач - student2.ru материальной точки определяется как векторное произведение

Примеры решения и оформления задач - student2.ru ,

где m- масса материальной точки, Примеры решения и оформления задач - student2.ru - ее скорость, Примеры решения и оформления задач - student2.ru -расстояние от точки до оси вращения.

Величина момента импульса Примеры решения и оформления задач - student2.ru материальной точки равна

L=mvr

Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси равен

Примеры решения и оформления задач - student2.ru ,

где J – момент инерции тела, w -угловая скорость.

Закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе суммарный момент импульса всех тел этой системы остается постоянным.

Кинетическая энергия вращающегося тела выражается формулой

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Примеры решения и оформления задач.

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид х = А + Вt + Ct3, где А = 2 м, В = 1 м/c, C = -0,5 м/с3. Найти координату х, проекцию мгновенной скорости и ускорения точки в момент времени t = 2 с.

Дано: Решение
А = 2 м Координату х найдем, подставив в уравнение движения численные значения коэффициентов А, В и С и времени t: х = (2 + 1× 2 – 0,5× 23) = 0. Проекция мгновенной скорости на ось х определяется как первая производная от координаты по времени

Vх = Примеры решения и оформления задач - student2.ru = B + 3C× t2.

Проекцию ускорения точки найдем, взяв первую производную от проекции скорости по времени

aх = Примеры решения и оформления задач - student2.ru = 6C× t

Проверка размерности

[Vх ] = Примеры решения и оформления задач - student2.ru = Примеры решения и оформления задач - student2.ru , [а]= Примеры решения и оформления задач - student2.ru = Примеры решения и оформления задач - student2.ru .

Подставляем числовые значения в момент времени t = 2 с

Vх = (1 – 3×0,5×22) м/c = -5 м/c,

aх = 6×(–0,5)×2 м/c2 = -6 м/c2.

Ответ:в момент времени t = 2 с проекция скорости материальной точки равна -5 м/c, проекция ускорения: -6 м/c2.

Пример 2.Из пущенной с поверхности Земли вертикально вверх ракеты вырывается вниз струя газа со скоростью Примеры решения и оформления задач - student2.ru относительно ракеты. Начальная масса ракеты с топливом равна Примеры решения и оформления задач - student2.ru , ежесекундный расход топлива равен Примеры решения и оформления задач - student2.ru (кг/с). Определить ускорение ракеты через время Примеры решения и оформления задач - student2.ru после старта, считая поле тяготения однородным.

Решение

Выберем неподвижную систему отсчета, связанную с Землей. В соответствии с условием задачи масса ракеты непрерывно уменьшается, и основное уравнение динамики необходимо использовать в виде обобщённого второго закона Ньютона. Запишем его в проекции на вертикальную ось 0у. Пусть Примеры решения и оформления задач - student2.ru - масса ракеты в произвольный момент времени Примеры решения и оформления задач - student2.ru Примеры решения и оформления задач - student2.ru - ее скорость в тот же момент. Для выбранного момента времени импульс ракеты равен Примеры решения и оформления задач - student2.ru Спустя время Примеры решения и оформления задач - student2.ru масса ракеты станет равной Примеры решения и оформления задач - student2.ru а скорость Примеры решения и оформления задач - student2.ru . Соответственно импульс ракеты примет значение Примеры решения и оформления задач - student2.ru Кроме того, выброшенная порция газа (которая тоже принадлежит рассматриваемой системе) в выбранной системе отсчета станет обладать импульсом - Примеры решения и оформления задач - student2.ru Тогда изменение импульса системы

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

и соответственно, уравнение (1.13) в проекции на ось 0у принимает вид

Примеры решения и оформления задач - student2.ru (*)

Раскроем скобки:

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

и после сокращений получим

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Величины Примеры решения и оформления задач - student2.ru и Примеры решения и оформления задач - student2.ru стремятся к нулю. Поэтому произведение Примеры решения и оформления задач - student2.ru Примеры решения и оформления задач - student2.ru Примеры решения и оформления задач - student2.ru исключаем как бесконечно малую величину высшего порядка. С учетом этого соотношение (*) преобразуем к виду

Примеры решения и оформления задач - student2.ru Примеры решения и оформления задач - student2.ru

После деления на Примеры решения и оформления задач - student2.ru получим

Примеры решения и оформления задач - student2.ru (**)

где Примеры решения и оформления задач - student2.ru Примеры решения и оформления задач - student2.ru - искомое ускорение ракеты. Запишем (**) в проекции на ось Оу:

Примеры решения и оформления задач - student2.ru (***)

Это уравнение аналогично второму закону Ньютона. Однако масса здесь не постоянна, и дополнительное слагаемое Примеры решения и оформления задач - student2.ru может быть истолковано как реактивная сила. Уравнение (***) является частным случаем уравнения Мещерского для движения точки с переменной массой. Для заданного момента времени формула для ускорения имеет вид

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Замечание.Интегрируя это уравнение, можно получить зависимость скорости ракеты от времени, а затем и закон движения.

Пример 3. Водометный двигатель катера выбрасывает назад струю воды со скоростью Примеры решения и оформления задач - student2.ru м/с относительно катера. Расход воды в его турбине Примеры решения и оформления задач - student2.ru кг/с. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить его скорость Примеры решения и оформления задач - student2.ru в спокойной воде через Примеры решения и оформления задач - student2.ru с после начала движения. Масса катера Примеры решения и оформления задач - student2.ru т.

Решение

Выберем систему отсчета, связанную со спокойной водой, ось координат Примеры решения и оформления задач - student2.ru – вдоль направления движения катера. Пусть в некоторый момент времени скорость катера равна Примеры решения и оформления задач - student2.ru Масса катера Примеры решения и оформления задач - student2.ru не изменяется, внешние силы отсутствуют, проекция относительной скорости поступающей в турбину воды равна - Примеры решения и оформления задач - student2.ru Уравнение движения запишем в проекции на ось Примеры решения и оформления задач - student2.ru :

Примеры решения и оформления задач - student2.ru или Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Введем безразмерную переменную Примеры решения и оформления задач - student2.ru Тогда Примеры решения и оформления задач - student2.ru и после замены и разделения переменных получим

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Аналогичное уравнение рассматривалось в примере 1. Интегрируем это уравнение:

Примеры решения и оформления задач - student2.ru или Примеры решения и оформления задач - student2.ru (*)

Из начального условия Примеры решения и оформления задач - student2.ru находим Примеры решения и оформления задач - student2.ru и приводим уравнение (*) к виду

Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Используя определение логарифмической функции, получим

Примеры решения и оформления задач - student2.ru или Примеры решения и оформления задач - student2.ru (**)

График этой функции приведен на рис.2. Скорость асимптотически стремится к предельному значению Примеры решения и оформления задач - student2.ru В этом случае скорость выбрасываемой струи воды в выбранной системе отсчета равна нулю, т.е. Примеры решения и оформления задач - student2.ru , и ускорения не будет.

Примеры решения и оформления задач - student2.ru Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Примеры решения и оформления задач - student2.ru Примеры решения и оформления задач - student2.ru

Рис. 2

Подставив из условия Примеры решения и оформления задач - student2.ru с в выражение (**) и выполнив вычисления, получим ответ Примеры решения и оформления задач - student2.ru м/с.

Наши рекомендации