Примеры решения и оформления задач
Расчётно-графическая работа по механике
Основные формулы.
Кинематика материальной точки
В Декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положение точки А в данный момент времени характеризуется тремя координатами x, y, z или радиусом - вектором , проведенным из начала координат в данную точку (Рис. 1).
При движении материальной точки её координаты с течением времени изменяются. В общем случае её движение определяется скалярными уравнениями:
x = x(t), y = y(t), z = z(t) (1)
Эти уравнения эквивалентны векторному уравнению
(2)
где х, у, z – проекции радиуса-вектора на оси координат, а - единичные векторы, направленные по соответствующим осям. Уравнения (1) и (2) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.
Мгновенная скорость в общем случае движения определяется первой производной от радиус-вектора по времени:
- вектор мгновенной скорости,
Проекции скорости:
Мгновенное ускорение:
Кинематика вращательного движения
Угловая скорость - векторная величина, характеризующая скорость вращения тела, численно равная первой производной псевдовектора угла поворота по времени t:
Угловое ускорение — векторная величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.
Тангенциальное (касательное ) ускорение (составляющая ускорения)
Нормальное (центростремительное) ускорение (составляющая ускорения) - векторная величина, характеризующя изменение направления скорости:
Модуль полного ускорения:
Динамика вращательного движения
Основное уравнение динамики вращательного движени (Второй закон Ньютона)
,
где: -вектор импульса.
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела
(1)
где - суммарный момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; J - момент инерции тела относительно той же оси; - угловое ускорение.
В динамике вращательного движения различают два понятия: момент силы относительно точки и момент силы относительно оси вращения.
Момент силы относительно точки О определяется как векторное произведение
,
где - сила, - радиус-вектор, проведенный из точки О, в точку приложения силы.
Момент силы относительно оси вращения есть проекция на произвольную ось z, которая проходит через точку О:
.
Где l – плечо силы, то есть кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы.
Момент инерции тела
или
,
где Dmi - масса элемента; ri - расстояние от элемента до оси вращения; r - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения. Таким образом, задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию.
Для расчетов моментов инерции относительно произвольной оси может быть использована теорема Штейнера. Согласно ей, момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела Jc относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.
Момент импульса материальной точки определяется как векторное произведение
,
где m- масса материальной точки, - ее скорость, -расстояние от точки до оси вращения.
Величина момента импульса материальной точки равна
L=mvr
Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси равен
,
где J – момент инерции тела, w -угловая скорость.
Закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе суммарный момент импульса всех тел этой системы остается постоянным.
Кинетическая энергия вращающегося тела выражается формулой
Примеры решения и оформления задач.
Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид х = А + Вt + Ct3, где А = 2 м, В = 1 м/c, C = -0,5 м/с3. Найти координату х, проекцию мгновенной скорости и ускорения точки в момент времени t = 2 с.
Дано: | Решение |
А = 2 м | Координату х найдем, подставив в уравнение движения численные значения коэффициентов А, В и С и времени t: х = (2 + 1× 2 – 0,5× 23) = 0. Проекция мгновенной скорости на ось х определяется как первая производная от координаты по времени |
Vх = = B + 3C× t2.
Проекцию ускорения точки найдем, взяв первую производную от проекции скорости по времени
aх = = 6C× t
Проверка размерности
[Vх ] = = , [а]= = .
Подставляем числовые значения в момент времени t = 2 с
Vх = (1 – 3×0,5×22) м/c = -5 м/c,
aх = 6×(–0,5)×2 м/c2 = -6 м/c2.
Ответ:в момент времени t = 2 с проекция скорости материальной точки равна -5 м/c, проекция ускорения: -6 м/c2.
Пример 2.Из пущенной с поверхности Земли вертикально вверх ракеты вырывается вниз струя газа со скоростью относительно ракеты. Начальная масса ракеты с топливом равна , ежесекундный расход топлива равен (кг/с). Определить ускорение ракеты через время после старта, считая поле тяготения однородным.
Решение
Выберем неподвижную систему отсчета, связанную с Землей. В соответствии с условием задачи масса ракеты непрерывно уменьшается, и основное уравнение динамики необходимо использовать в виде обобщённого второго закона Ньютона. Запишем его в проекции на вертикальную ось 0у. Пусть - масса ракеты в произвольный момент времени - ее скорость в тот же момент. Для выбранного момента времени импульс ракеты равен Спустя время масса ракеты станет равной а скорость . Соответственно импульс ракеты примет значение Кроме того, выброшенная порция газа (которая тоже принадлежит рассматриваемой системе) в выбранной системе отсчета станет обладать импульсом - Тогда изменение импульса системы
и соответственно, уравнение (1.13) в проекции на ось 0у принимает вид
(*)
Раскроем скобки:
и после сокращений получим
Величины и стремятся к нулю. Поэтому произведение исключаем как бесконечно малую величину высшего порядка. С учетом этого соотношение (*) преобразуем к виду
После деления на получим
(**)
где - искомое ускорение ракеты. Запишем (**) в проекции на ось Оу:
(***)
Это уравнение аналогично второму закону Ньютона. Однако масса здесь не постоянна, и дополнительное слагаемое может быть истолковано как реактивная сила. Уравнение (***) является частным случаем уравнения Мещерского для движения точки с переменной массой. Для заданного момента времени формула для ускорения имеет вид
Замечание.Интегрируя это уравнение, можно получить зависимость скорости ракеты от времени, а затем и закон движения.
Пример 3. Водометный двигатель катера выбрасывает назад струю воды со скоростью м/с относительно катера. Расход воды в его турбине кг/с. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить его скорость в спокойной воде через с после начала движения. Масса катера т.
Решение
Выберем систему отсчета, связанную со спокойной водой, ось координат – вдоль направления движения катера. Пусть в некоторый момент времени скорость катера равна Масса катера не изменяется, внешние силы отсутствуют, проекция относительной скорости поступающей в турбину воды равна - Уравнение движения запишем в проекции на ось :
или
Введем безразмерную переменную Тогда и после замены и разделения переменных получим
Аналогичное уравнение рассматривалось в примере 1. Интегрируем это уравнение:
или (*)
Из начального условия находим и приводим уравнение (*) к виду
Используя определение логарифмической функции, получим
или (**)
График этой функции приведен на рис.2. Скорость асимптотически стремится к предельному значению В этом случае скорость выбрасываемой струи воды в выбранной системе отсчета равна нулю, т.е. , и ускорения не будет.
Рис. 2
Подставив из условия с в выражение (**) и выполнив вычисления, получим ответ м/с.