Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение 1. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала , непрерывна справа в точке ( ) и непрерывна слева в точке ( ).

Теорема 1. Функция , непрерывная на отрезке , ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Докажем методом «от противного». Пусть это не так, функция не является ограниченной. Тогда для каждого натурального найдется число на отрезке такое что . Рассмотрим полученную числовую последовательность , . Она ограничена, т. к. все ее члены лежат на отрезке , следовательно, у нее существует сходящаяся подпоследовательность , . При этом, в силу непрерывности функции на отрезке выполнено , что противоречит тому, что значения функции в точках этой последовательности неограниченно возрастают. Теорема доказана.

Теорема 2. Функция , непрерывная на отрезке , достигает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значения.

Доказательство. Как было только что доказано, множество значений непрерывной функции на отрезке ограничено. Следовательно, существуют точная верхняя и точная нижняя грани этого множества значений. Докажем, что это и есть наибольшее и наименьшее значения функции. В силу симметрии достаточно доказать существование наибольшего значения функции. По определения для каждого существует такое, что . Очевидно, что . В то же время последовательность , имеет сходящуюся подпоследовательность . Очевидно, что и теорема доказана.

Теорема 3. Функция , непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все промежуточные значения.

Доказательство. Давайте формализуем утверждение этой теоремы. Пусть функция , непрерывна на отрезке , принимает на этом свое наибольшее значение и наименьшее значение . Пусть . Надо доказать, что существует такая что . Это и означает, что функция принимает все промежуточные значения. Если рассмотреть функцию . , то для непрерывной на отрезке функции задача превращается в следующую. Если на концах отрезка непрерывная на этом отрезке функция принимает значения разных знаков, то существует точка , в которой функция равна 0. Приступим к главной части доказательства. Разобьем отрезок пополам и в качестве отрезка возьмем ту его половину, на которой функция принимает значения разных знаков. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных друг в друга отрезков, длины которых стремятся к 0, и на концах которых функция принимает значения разных знаков. Легко проверить, что в единственной общей точке значение функции не может быть ни положительным, ни отрицательным. Следовательно, в этой общей точке функция равна 0, теорема доказана.