Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением векторов = (х₁, х₂, …, х_п) и = (у₁,
у₂, …, у_п) называется число , равное сумме произведений соответствующих координат векторов и :

.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. = .

2. , .

3. .

4. 0, если , и , если .

Линейная зависимость и линейная независимость векторов

Линейной комбинацией векторов называется вектор вида

, (1)

где , .

Пример. Пусть = (2;1;0), = (1;0;1), = (0;1;2). Вектор = (0;4;4) — линейная комбинация векторов , так как = 1· –2 · + 3 · .

В случае выполнения равенства (1) говорят, что вектор линейно выражается через векторы , или разлагается по этим
векторам.

Система ненулевых векторов вида

(2)

называется линейно зависимой, если существуют числа , , не все равные нулю, такие, что

. (3)

Если же равенство (3) для данной системы векторов возможно лишь при , то эта система векторов называется линейно независимой.

Базис и ранг системы векторов

Пусть дана система векторов (2).

Максимальной линейно независимой подсистемой системы векторов (2) называется такой частичный набор векторов этой системы, который удовлетворяет следующим условиям:

1. Векторы этого набора линейно независимы.

2. Любой вектор системы (2) линейно выражается через векторы этого набора.

Максимальная линейно независимая подсистема системы векто-
ров (2) называется ее базисом.

Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса.

Система векторов называется базисом пространства Rⁿ, если:

1. Векторы этой системы линейно независимы.

2. Всякий вектор из Rⁿ линейно выражается через векторы данной системы.

Матрицы

Прямоугольная таблица чисел вида

,

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей .

Здесь a_ij — действительные числа (i = 1, 2, …, m, j = 1, 2,…, n), которые называются элементами матрицы. Индекс i указывает на номер строки, а индекс j — номер столбца. На их пересечении находится элемент a_ij.

Матрица, все элементы которой являются нулями, называется нулевой.

В случае, когда т = п (число строк равно числу столбцов), матрица А называется квадратной матрицей n-го порядка:

.

Главной диагональю квадратной матрицы называется ее диагональ, составленная из элементов a₁₁, a₂₂,…, a_nn.

Квадратная матрица называется единичной, если элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы — нулю.

Очевидно, строки матрицы A_n´m образуют систему n-мерных векторов .

Рангом матрицы назовем ранг этой системы .

Следующие преобразования матрицы А назовем элементарными:

1. Перестановка местами двух ее строк (столбцов).

2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

3. Прибавление к элементам некоторой строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и тоже число.

Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Для практического вычисления ранга матрицы A ее удобно при помощи элементарных преобразований приводить к виду

.

Тогда ранг матрицы А равен числу единиц на диагонали матрицы A', т. е. числу r.

Действия над матрицами

Суммой двух матриц А_п´т = (а_ij) и B_п´т = (b_ij) называется такая третья матрица С_п´т = (с_ij), что с_ij = а_ij + b_ij.

Произведением матрицы А_п´т = (а_ij) на число называется такая матрица B_п´т = · А_п´т = (d_ij), что d_ij = · а_ij.

Пример. Если , , то С = 2А – 3В = = = + =
= .

Произведением матриц А_п´т = (а_ij) и B_m´k = (b_ij) называется такая третья матрица С_п´k = (с_ij), что c_ij = а_i1 · b_1j + а_i2 · b_2j +…+ а_im · b_mj .

Пример. Если , , то C = A · B =
= = .

Определители

Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число det A (или |A|, или ), называемое ее определителем, следующим образом:

1. Если п = 1, A = (a₁₁), тогда определитель первого порядка имеет вид

|A| = = |a₁₁| = a₁₁.

2. Если п = 2, , тогда определитель второго порядка вычисляется по формуле

.

3. Если п = 3, , то матрице третьего порядка соответствует определитель

Это выражение получается по правилу треугольников (правилу Саррюса). Его можно пояснить схемами, на которых элементы, входящие в одно произведение с указанным знаком, соединены отрезками (рис. 9).

Рис. 9

Пример.