Лабораторная работа № 4
Построение регрессионной модели
системы двух случайных величин
Цель работы: изучить основные методы регрессионного и корреляционного анализа; исследовать зависимость между двумя случайными величинами, заданными выборками.
Задание: по виду корреляционного поля сделать предположение о форме регрессионной зависимости между двумя случайными величинами; используя метод наименьших квадратов, найти параметры уравнения регрессии; оценить качество описания зависимости полученным уравнением регрессии.
Пример .По результатам пятнадцати совместных измерений веса грузового поезда, т, и соответствующего времени нахождения поезда на участке Y, ч, представленных в таблице 1, следует исследовать зависимость между данными величинами. Необходимо определить коэффициенты уравнения регрессии методом наименьших квадратов, оценить тесноту связи между величинами, проверить значимость коэффициента корреляции и спрогнозировать время нахождения поезда на участке при заданном весе поезда (5200 т).
Решение. На величину времени нахождения поезда на участке Y, помимо веса X, влияние оказывает профиль и качество железнодорожного полотна, качество подвижного состава, направление и скорость ветра и другие факторы. Поэтому зависимость между величиной времени нахождения поезда на участке Y и веса поезда X является статистической: при одном весе поезда при различных дополнительных условиях время нахождения поезда на участке может принимать различные значения. Для определения вида регрессионной зависимости построим корреляционное поле.
Рис.1. Корреляционное поле
Характер расположения точек на диаграмме рассеяния позволяет сделать предположение о линейной регрессионной зависимости
Таблица 1 - Результаты промежуточных вычислений
Время нахождения поезда на участке, час., | Время простоя состава под скрещением, мин., | |||||
4,05 | 26,5 | -0,0982 | 0,0096432 | 15,7506667 | 248,0835 | -1,54671547 |
4,146 | 10,4 | -0,0022 | 4,84E-06 | -0,34933333 | 0,12203378 | 0,000768533 |
4,137 | 9,45 | -0,0112 | 0,0001254 | -1,29933333 | 1,68826711 | 0,014552533 |
4,13 | 9,27 | -0,0182 | 0,0003312 | -1,47933333 | 2,18842711 | 0,026923867 |
4,09 | 16,8 | -0,0582 | 0,0033872 | 6,05066667 | 36,6105671 | -0,3521488 |
4,22 | 1,22 | 0,0718 | 0,0051552 | -9,52933333 | 90,8081938 | -0,68420613 |
4,181 | 13,2 | 0,0328 | 0,0010758 | 2,45066667 | 6,00576711 | 0,080381867 |
4,162 | 1,99 | 0,0138 | 0,0001904 | -8,75933333 | 76,7259204 | -0,1208788 |
4,2 | 6,6 | 0,0518 | 0,0026832 | -4,14933333 | 17,2169671 | -0,21493547 |
4,244 | 10,4 | 0,0958 | 0,0091776 | -0,34933333 | 0,12203378 | -0,03346613 |
3,987 | 2,43 | -0,1612 | 0,0259854 | -8,31933333 | 69,2113071 | 1,341076533 |
4,156 | 7,16 | 0,0078 | 6,084E-05 | -3,58933333 | 12,8833138 | -0,0279968 |
4,25 | 1,72 | 0,1018 | 0,0103632 | -9,02933333 | 81,5288604 | -0,91918613 |
4,2 | 20,3 | 0,0518 | 0,0026832 | 9,55066667 | 91,2152338 | 0,494724533 |
4,07 | 23,8 | -0,0782 | 0,0061152 | 13,0506667 | 170,3199 | -1,02056213 |
Итого: 62,22 | 161,2 | -2,66E-15 | 0,0769824 | 0,00E+00 | 904,730293 | -2,961668 |
Найдем уравнение прямой линии методом наименьших квадратов .
Среднее значение времени нахождения поезда на участке:
= .
Среднее значение времени простоя поезда под скрещением:
=
Коэффициенты уравнения:
Уравнение регрессии имеет вид : .
Для линейной связи коэффициенты:
- постоянная регрессии, показывает точку пересечения прямой с осью ординат
- коэффициент регрессии, показывает меру зависимости переменных y от х, указывает среднюю величину изменения переменной у при изменении х на одну единицу, знак В1 определяет направление этого изменения .
Вычислим линейный коэффициент корреляции
= .
Таблица 2 - Расчет значений времени нахождения поезда на участке по уравнению регрессии
Время нахождения поезда на участке, час., | Время простоя состава под скрещением, мин., | |
4,13 | 9,27 | 14,5273 |
4,09 | 16,8 | 10,83399 |
4,22 | 1,22 | 11,18024 |
4,181 | 13,2 | 11,44954 |
4,162 | 1,99 | 12,98842 |
4,2 | 6,6 | 7,98706 |
4,244 | 10,4 | 9,487468 |
3,987 | 2,43 | 10,21844 |
4,156 | 7,16 | 8,7565 |
4,25 | 1,72 | 7,063732 |
4,2 | 20,3 | 16,95104 |
4,07 | 23,8 | 10,44927 |
4,143 | 16,8 | 6,8329 |
4,248 | 11,3 | 8,7565 |
4,156 | 3,01 | 13,75786 |
Итого: 62,44 | 161,2402 |
Так как коэффициент корреляции мал, то уравнение не пригодно для прогнозирования.
Качественная оценка тесноты связи между величинами выявляется по шкале Чеддока (таблица 3).
Таблица 3 - Шкала Чеддока
Теснота связи | Значение коэффициента корреляции при наличии | |
прямой связи | обратной связи | |
Слабая | 0,1–0,3 | (-0,1)–(-0,3) |
Умеренная | 0,3–0,5 | (-0,3)–(-0,5) |
Заметная | 0,5–0,7 | (-0,5)–(-0,7) |
Высокая | 0,7–0,9 | (-0,7)–(-0,9) |
Весьма высокая | 0,9–0,99 | (-0,9)–(-0,99) |
Вывод. Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости. Т.к. = , то можно говорить о том, что между величинами X и Y существует линейная прямая умеренная связь.
Coefficients
Least Squares | Standard | T | ||
Parameter | Estimate | Error | Statistic | P-Value |
Intercept | 170,339 | 116,624 | 1,46058 | 0,1679 |
Slope | -38,472 | 28,1101 | -1,36862 | 0,1943 |
Analysis of Variance
Source | Sum of Squares | Df | Mean Square | F-Ratio | P-Value |
Model | 113,941 | 113,941 | 1,87 | 0,1943 | |
Residual | 790,789 | 60,8299 | |||
Total (Corr.) | 904,73 |
Correlation Coefficient = -0,35488
R-squared = 12,594 percent
R-squared (adjusted for d.f.) = 5,87041 percent
Standard Error of Est. = 7,79935
Mean absolute error = 5,92251
Durbin-Watson statistic = 1,70856 (P=0,2868)
Lag 1 residual autocorrelation = -0,00867545
The StatAdvisor
The output shows the results of fitting a linear model to describe the relationship between Col_2 and Col_1. The equation of the fitted model is
Col_2 = 170,339 - 38,472*Col_1