Тема 5. Введение в математический анализ
Числовые функции. График функции. Основные характеристики функции. Сложная функция. Основные элементарные функции и их графики. [3, §14]. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции при 
. [3, §16]. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. [3, §17]. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке. [3, §19].
Пример 9. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
Решение:
1) 
.
2) 
.
Раскроем неопределенность 
. Так как 
и 
, то 
.
3) 
.
Для раскрытия неопределенности 
разделим числитель и знаменатель на старшую степень 
:
, так как 
, 
, 
при 
.
4) 
.
Для раскрытия неопределенности 
умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю:
.
5) 
.
Сделаем замену 
, тогда 
, 
. Так как , то 
.
Тогда 
, так как 
– второй замечательный предел.
Пример 10. Дана функция 
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
Решение: Функции 
, 
, 
непрерывны на всей числовой прямой, поэтому заданная функция 
может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, то есть в точках 
и 
.
Исследуем функцию на непрерывность в этих точках. Для этого найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции.
Рассмотрим поведение функции при :
;
; 
.
Так как 
, то заданная функция непрерывна в точке .
Рассмотрим поведение функции при :
; 
.
Так как пределы 
и 
конечны и не равны, то точка – точка разрыва I рода (функция в этой точке претерпевает «скачок» на 
единицы).
Сделаем чертеж:
Задачи для контрольных работ
ВАРИАНТ 1
Контрольная работа №1
1. Дана матрица 
. Найти 
.
2. Решить систему линейных уравнений 
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: 
, 
, 
, векторы 
и 
составляют стороны параллелограмма 
.
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки 
; 
; 
; 
. Требуется:
1) записать векторы 
, 
, 
в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов , , ;
3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и ;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;
6) найти площадь треугольника 
;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы 
.
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : 
, 
, 
. Найти:
1) длину стороны 
;
2) уравнения сторон и 
и их угловые коэффициенты; 3) 
внутренний угол 
в радианах с точностью до 
;
4) уравнение высоты 
и ее длину, не используя координаты точки 
;
5) уравнение медианы 
;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус эллипса 
параллельно прямой 
.
3. Даны точки 
; 
; 
; 
. Найти:
1) длину отрезка 
;
2) уравнения прямых и 
;
3) угол между прямыми и ;
4) уравнение плоскости 
;
5) угол между прямой и плоскостью ;
6) уравнения высоты, опущенной из точки 
на плоскость .
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
5. Дана функция 
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 2
Контрольная работа №1
1. Дана матрица 
. Найти .
2. Решить систему линейных уравнений 
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: 
, , 
, векторы 
и 
составляют стороны параллелограмма .
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки 
; 
; 
; 
. Требуется:
1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов , , ;
3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и ;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы 
.
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : 
, 
, 
. Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол в радианах с точностью до ;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;
5) уравнение медианы ;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы 
параллельно прямой 
.
3. Даны точки ; 
; 
; 
. Найти:
1) длину отрезка ;
2) уравнения прямых и ;
3) угол между прямыми и ;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между прямой и плоскостью ;
6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
5. Дана функция 
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 3
Контрольная работа №1
1. Дана матрица 
. Найти .
2. Решить систему линейных уравнений 
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: , 
, 
, векторы 
и 
составляют стороны параллелограмма .
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки 
; 
; 
; 
. Требуется:
1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов , , ;
3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и ;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы 
.
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : 
, 
, 
. Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол в радианах с точностью до ;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;
5) уравнение медианы ;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Составить уравнения прямых, проходящих через точку 
параллельно асимптотам гиперболы 
.
3. Даны точки ; 
; 
; 
. Найти:
1) длину отрезка ;
2) уравнения прямых и ;
3) угол между прямыми и ;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между прямой и плоскостью ;
6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
5. Дана функция 
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 4
Контрольная работа №1
1. Дана матрица 
. Найти .
2. Решить систему линейных уравнений 
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: , , 
, векторы 
и 
составляют стороны параллелограмма .
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки 
; 
; 
; 
. Требуется:
1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов , , ;
3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и ;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы 
.
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : 
, 
, 
. Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол в радианах с точностью до ;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;
5) уравнение медианы ;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Дана парабола 
. Найти длину ее хорды, проходящей через точку 
параллельно прямой 
.
3. Даны точки ; 
; 
; 
. Найти:
1) длину отрезка ;
2) уравнения прямых и ;
3) угол между прямыми и ;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между прямой и плоскостью ;
6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
5. Дана функция 
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 5
Контрольная работа №1
1. Дана матрица 
. Найти .
2. Решить систему линейных уравнений 
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: , , 
, векторы 
и 
составляют стороны параллелограмма .
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки 
; 
; 
; 
. Требуется:
1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов , , ;
3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и ;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы 
.
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : 
, 
, 
. Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол в радианах с точностью до ;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;
5) уравнение медианы ;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через центр гиперболы 
параллельно прямой 
.
3. Даны точки ; 
; 
; 
. Найти:
1) длину отрезка ;
2) уравнения прямых и ;
3) угол между прямыми и ;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между прямой и плоскостью ;
6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
5. Дана функция 
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 6
Контрольная работа №1
1. Дана матрица 
. Найти .
2. Решить систему линейных уравнений 
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: , , 
, векторы 
и 
составляют стороны параллелограмма .
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки 
; 
; 
; 
. Требуется:
1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов , , ;
3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и ;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы 
.
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : 
, , 
. Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол в радианах с точностью до ;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;
5) уравнение медианы ;