Теорема (достаточные условия экстремума)
- Если
и 
, то 
- точка максимума. - Если и
, то - точка минимума. - Если
, то не является точкой экстремума.
4. Если 
, то точка может как быть, так и не быть точкой экстремума,
2.13).Найти точки экстремума и экстремальные значения функции
.
Найдем частные производные 
и 
. Приравнивая эти производные нулю, получаем систему уравнений
Ее решениями являются следующие четыре стационарные точки: 
. Теперь вычислим вторые частные производные данной функции 
, 
, 
и составим определитель 
. Найдем значения этого определителя в каждой из полученных стационарных точек:
1. 
. Поэтому 
- точка минимума.
2. 
, в точке 
экстремума нет.
3. 
, в точке 
экстремума нет.
4. 
, 
- точка максимума.
Подставляя координаты двух экстремальных точек 
и в данную функцию, получим 
- минимум, 
- максимум.
Задания для самостоятельного решения
Найти области определения следующих функций:
2.1. 
. 2.2. 
. 2.3. 
. 2.4. 
. 2.5. 
.
Определить линии уровня и построить некоторые из них при 
для следующих функций:
2.6. 
. 2.7. 
. 2.8. 
. 2.9. 
. 2.10. 
.
Найти частные производные следующих функций, записать полный дифференциал:
2.11. 
. 2.12. 
. 2.13. 
.
2.14. 
. 2.15. 
. 2.16. 
. 2.17. 
.
2.18. 
. 2.19. 
.
Найти частные производные второго порядка.
2.20. 
. 2.21. 
. .2.22. 
. 2.23. 
.
2.24. Вычислить производную функции 
в точке 
по направлению вектора 
.
2.25. Найти производную функции 
в точке в направлении, составляющем с осью 
угол 
. Определить направление максимального роста данной функции в данной точке.
2.26. Найти направление максимального роста функции 
в точке 
.
2.27. Найти производную по направлению биссектрисы первого координатного угла в точке 
функции 
.
2.28. Найти градиент функции 
в точке 
.
Исследовать на экстремум следующие функции:
2.29. 
. 2.30. 
. 2.31. 
.
2.32. 
. 2.33. 
. 2.34. 
.
Ответы:
2.1. 
. 2.2. 
. 2.3. 
. 2.4. 
и 
. 2.5. 
.
2.6. 
. 2.7. 
. 2.8. 
. 2.9. 
. 2.10. 
.
2.11. 
. 2.12. 
.
2.13. 
. 2.14. 
.
2.15. 
. 2.16. 
.
2.17. 
. 2.18. 
.
2.19. 
. 2.20. 
, 
, 
.
2.21. 
, 
, 
.
2.22. 
, 
,
.
2.23. 
, 
, 
.
2.24.. 
. 2.25. 
, 
. 2. 26. 
. 2.27. 
.
2.28 
. 2.29. 
- точка минимума. 2.30. Точек экстремума нет.
2.31. 
- точка минимума. 2.32. 
- точка максимума.
2.33. 
- точка минимума. 2.34. Точек экстремума нет.
Контрольная работа № 2.Функции нескольких переменных.
1. Найти область определения функции и изобразить ее на плоскости 
.
2. Определить линии уровня функции, изобразить некоторые из них при .
3. Найти частные производные 
, 
данной функции, записать ее полный дифференциал.
4. Вычислить частные производные второго порядка.
5. Вычислить градиент и производную функции в данной точке 
по направлению 
.
6. Исследовать функцию на экстремум. Определить точки максимума и минимума, вычислить максимальные и минимальные значения данной функции.
Вариант 1.
1. 
. 2. . 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 2.
1. 
. 2. . 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 3.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 4.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. .
5. 
. 6. 
.
Вариант 5.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 6.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 7.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 8.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 9.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 10.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 11.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. .
5. 
. 6. 
.
Вариант 12.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 13.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 14.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 15.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 16.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 17.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. .
Вариант 18.
1. 
. 2. . 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 19.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 20.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 21.
1. 
. 2. . 3. 
. 4. .
5. 
. 6. 
Вариант 22.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 23.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 24.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 25.
1. . 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 26.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 27.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 28.
1. 
. 2. . 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
Вариант 29.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
Вариант 30.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
3. Дифференциальные уравнения
3.1.Общие понятия
Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.
Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента – одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, а если она зависит от нескольких аргументов и дифференциальное уравнение содержит какие - либо ее частные производные по этим аргументам, то оно называется дифференциальным уравнением с частными производными.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок содержащейся в этом уравнении производной искомой функции. Например, уравнение 
, где 
– независимая переменная, а 
– искомая функция, является обыкновенным дифференциальным уравнением третьего порядка. Уравнение 
, в котором и 
– две независимые переменные, а 
- искомая функция этих переменных, является дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка.
В настоящих методических указаниях рассматриваются некоторые из основных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения, а само решение дифференциального уравнения называется его интегралом,график этого решения принято называть интегральной кривой.
Решение дифференциального уравнения называется общим, если оно содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, а функции, получаемые из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются частными решениями этого уравнения.
3.2.Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка, в котором 
– независимая переменная, 
– неизвестная функция, 
– производная неизвестной функции, имеет следующий общий вид
(3.1)
В том случае, когда производную удается выразить через остальные переменные, дифференциальное уравнение первого порядка приобретает вид
(3.2)
или, в случае когда 
, форму, содержащую дифференциалы:
(3.3)
Задачей Кошиназывают задачу нахождения решения 
дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию
(3.4)
где 
и 
- заданные числа, начальные значения.