Одноканальная система массового обслуживания с отказами
Пусть СМО включает только один канал обслуживания и на ее вход подается пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ, т.е. непрерывная случайная величина T – время между двумя соседними заявками – распределена по закону Пуассона:
.
Другая случайная величина Ts – время обслуживания каналом одной заявки – также распределена по закону Пуассона с параметром μ:
.
Параметры λ и μ называются соответственно интенсивностью потока заявок и интенсивностью потока обслуживания. Например, среднее значение равно математическому ожиданию M(Ts), откуда и следует формула и название μ:
.
Состояния СМО характеризуются простаиванием или занятостью ее канала, т.е. система может находиться в одном из двух состояний: S0 – канал свободен или S1 – канал занят. Из состояния S0 в состояние S1 систему переводит поток входящих заявок, а из состояния S1 в состояние S0 – поток обслуживаний. Плотности вероятностей перехода из состояния S0 в состояние S1 и обратно равны соответственно λ и μ. Граф состояний СМО показан на рис.2.
Рис. 2
Пусть p0(t) и p1(t) соответственно вероятности состояний системы S0 и S1 в момент времени t. Справедливо условие (5):
p0(t) + p1(t) = 1. (6)
В силу того, что процесс является марковским, вероятности p0(t) и p1(t) удовлетворяют системе уравнений Колмогорова:
Подстановка условия (6) в систему приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно p0(t)
. (7)
При условии, что в начальный момент времени t=0 канал свободен:
p0(0) = 1, p1(0) = 0,
получаем решение уравнения (7)
. (8)
Далее из условия (6) имеем
. (9)
Из формул (8) и (9) видно, что с ростом времени t вторые слагаемые в числителях стремятся к нулю, т.е. p0(t) и p1(t) заметно отличны от постоянных величин лишь в начале работы СМО. Рассмотрим предельные значения вероятностей состояния СМО, т.е. при . Тогда из (8) и (9) получаем:
,
.
Заметим, что при μ<λ вероятность отказа выше 0,5 и превышает вероятность обслуживания.
Теперь установим основные характеристики СМО. Поскольку вероятность обслуживания поступивших заявок равна p0, а относительная пропускная способность Q равна отношению среднего числа обслуженных заявок к среднему числу заявок, поступивших за единицу времени, то Q = p0, т.е. для одноканальной СМО с отказами
.
Абсолютная пропускная способность СМО – это среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу времени, или интенсивность выходящего потока обслуженных заявок – это часть интенсивности входящего потока заявок
.
Вероятность отказа в обслуживании заявки, когда канал занят, это вероятность p1:
.
Среднее время обслуживания заявки есть величина, обратная μ
.
Аналогично, среднее время простоя канала равно
.
Среднее время пребывания заявки в системе рассчитывается по формуле:
.
Пример. Телефонная АТС имеет одну линию, на которую в среднем приходит 0,8 вызовов в минуту. Среднее время разговора 1,5 мин. Вызов, пришедший во время разговора, не обслуживается. Считая потоки вызовов пуассоновскими, найти абсолютную и относительную пропускную способность станции и вероятность отказа абоненту.
Решение. Телефонную станцию рассматриваем как одноканальную СМО с отказами. мин.; интенсивности поступающего и обслуженного потоков заявок равны соответственно λ = 0,8; μ = 0,67. Тогда по формулам, приведенным выше, имеем: Q = 0,455; pr = 0,545; А = λQ = 0,364 выз./мин. Заметим здесь, что абсолютная пропускная способность СМО А оказалась почти вдвое меньше интенсивности μ потока обслуживания, это обусловлено случайным характером потока заявок.