Интегральный признак Коши

Пусть члены «+» ряда таковы, что Интегральный признак Коши - student2.ru , где Интегральный признак Коши - student2.ru при Интегральный признак Коши - student2.ru непрерывн., «+» и убывает, тогда исх. ряд Интегральный признак Коши - student2.ru и несобств. интеграл Интегральный признак Коши - student2.ru сходятся и расходятся одновременно.

Знакочередующиеся ряды.

Знакочеред. рядом наз ряд вида , где . Этот ряд можно записать в виде

Признак Лейбница.

Если члены знакочеред. ряда удовлетворяют условиям:

1,

2,

то знакочеред. ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимость.

Ряд (1) наз абсолютно сход, если сходится ряд (2). Если же ряд (1) сх, а ряд (2) расх., то такие ряды наз условно сходящимися. Интегральный признак Коши - student2.ru и Интегральный признак Коши - student2.ru

Теорема:если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Если ряд с произвольными членами расходится, то члены данного ряда можно расставить таким образом, что ряд будет сходиться к любому наперед заданному числу.

Функциональные ряды.

Ряды, членами к-рых явл. функции наз функциональным рядом.

Интегральный признак Коши - student2.ru

Если вместо переменной положить Интегральный признак Коши - student2.ru , где Интегральный признак Коши - student2.ru –из обл. определения ф-и Интегральный признак Коши - student2.ru , то получим числовой ряд Интегральный признак Коши - student2.ru . Если данный ряд сходится, то наз. точкой сходимости, если числ. ряд расходится. то Интегральный признак Коши - student2.ru –точка расходимости.

Совокупность всех точек сходимости функ. ряда наз обл его сходимости.

Степенные ряды.-функциональный ряд вида Интегральный признак Коши - student2.ru , где Интегральный признак Коши - student2.ru –действит. числа, называемые коэф-тами степенного ряда.

1. если степенной ряд сходится только в т. Интегральный признак Коши - student2.ru , то его будем относить к рядам 1-го класса.

2. ряд (1) сходящийся в любой точке, будем относить к рядам 2-го рода.

3. ряд, не Î к 1-му и 2-му классу относят к рядам 3-го класса.

Теорема Авеля: если степенной ряд (1) сходится при Интегральный признак Коши - student2.ru , то он абсолютно сходится для любого Интегральный признак Коши - student2.ru < Интегральный признак Коши - student2.ru . Если же степ. ряд (1) расходится при Интегральный признак Коши - student2.ru , то он расходится и при всех Интегральный признак Коши - student2.ru > Интегральный признак Коши - student2.ru .

След-но для каждого степенного ряда(1) третьего класса сущ-ет число Интегральный признак Коши - student2.ru >0, называемое радиусом сходимости, для к-рого вып-тся условия: при Интегральный признак Коши - student2.ru < Интегральный признак Коши - student2.ru ряд сходится абсолютно , при Интегральный признак Коши - student2.ru > Интегральный признак Коши - student2.ru –расходится. Промежуток Интегральный признак Коши - student2.ru наз интервалом сходимости степ. ряда. Для степ. ряда 2-го класса инт. сходимости (-¥;+¥). Областью сходимости степ. ряда явл. интервал, к-рому в отдельном случае добавляются один или оба конца этого интервала. Для степенного ряда 1-го класса полагают Интегральный признак Коши - student2.ru =0, 2-го класса Интегральный признак Коши - student2.ru =¥.

Теорема. Пусть для степенного ряда сущ-ет и оличен от 0 Интегральный признак Коши - student2.ru , тогда Интегральный признак Коши - student2.ru .

Вопрос №35. Комплексные числа.

О. Комплексное число-выраж-е вида Интегральный признак Коши - student2.ru , где Интегральный признак Коши - student2.ru и Интегральный признак Коши - student2.ru –действит. числа, а символ Интегральный признак Коши - student2.ru удовлетворяет условию Интегральный признак Коши - student2.ru .

Положим, что квадрат этого выраж-я равен -1, число Интегральный признак Коши - student2.ru наз. действит. частью, Интегральный признак Коши - student2.ru * Интегральный признак Коши - student2.ru мнимой частью, Интегральный признак Коши - student2.ru -мнимая ед. комплексного числа.

Множ-во всех комплексных чисел обознач. Интегральный признак Коши - student2.ru .

Интегральный признак Коши - student2.ru * Интегральный признак Коши - student2.ru наз. чисто мнимым. Два комплексных числа наз. равными, если равны соотв. их действ. и мнимые части. Интегральный признак Коши - student2.ru

Интегральный признак Коши - student2.ru Числа вида Интегральный признак Коши - student2.ru , Интегральный признак Коши - student2.ru –комплексно сопряженные и обозначаются соотв-нно Интегральный признак Коши - student2.ru и Интегральный признак Коши - student2.ru . Очевидно, что каждому комплексному числу Интегральный признак Коши - student2.ru соотв-ет единствен. т. на плоскости с коорд. Интегральный признак Коши - student2.ru

Плоскость по Интегральный признак Коши - student2.ru –комплексная. Оси Ох и Оу соотв-но действительная и мнимая. Интегральный признак Коши - student2.ru , Интегральный признак Коши - student2.ru ® Интегральный признак Коши - student2.ru

Наши рекомендации