Свойства функций непрерывных точек

Функции, непрерывные на отрезке. Теорема Коши.Док-во и теорема Герштраса.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

g(b)¹g(a) (неравны по теореме Ролля).

1). F(x) – непрерывна на [a,b]

2). F(x) – деффиренцирована на (a,b)

3). F(a)=0 ; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0

35)Производная. Дифференциал, дифференцируемость. Связь с непрерывностью

Произво́днаяОпределяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует

Дифференциа́л) в математике — линейная часть приращения функции или отображени

d_xf(Δx) = f'(x)Δx. Из Df дифференцируемости следует, что приращение дифф. ф-ии

можно представить в виде

для независимых переменных.

Производная сложной и обратной функции

Дифференцирование сложных ф-ций:Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y`=f(x)*U`,или y_x`=y<sub>U</sub>`*U_x`, или dy/dx=dy/dU=dU/dxНапример:

Дифференцирование обратной ф-ции.y=f(x), то x=j(y) - обратная ф-ция.Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. x_y`=1/y<sub>x</sub>`.Dy/Dx=1/(Dy/Dx) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов:lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx), т.е. y_x`=1/x<sub>y</sub> или f`(x)=1/j`(x)Например:

Производная основных элементарных функций. Таблица производных

y=a^x - показательная ф-ция, y=xⁿ - степенная, y=x^x - показательно-степенная.y=[f(x)]^j(x) - показательно-степенная ф-ция.lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.(1/y)*y`=(lny)(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1y`=y*(lnx+1)=x<sup>x</sup>(lnx+1)Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.Степенная ф-ция:1.y=x<sup>n</sup>, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)^-1 y`=y*n*(x<sup>-1</sup>)=n*x<sup>n</sup>*x<sup>-1</sup>=n*x<sup>n-1</sup>2.y=e<sup>U</sup>, где U=sinx U`=cosx, y`=(e<sup>U</sup>)`=e^U*U`=e^sinx*cosx. Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

Производная суммы, произведения, частного

(U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².