Свойства непрерывных функций

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема (об устойчивости знака непрерывной функции). Если функция Свойства непрерывных функций - student2.ru непрерывна в точке Свойства непрерывных функций - student2.ru , и если Свойства непрерывных функций - student2.ru , то найдется такая Свойства непрерывных функций - student2.ru -окрестность точки Свойства непрерывных функций - student2.ru , что для всех значений аргумента из указанной Свойства непрерывных функций - student2.ru -окрестности функция Свойства непрерывных функций - student2.ru не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком Свойства непрерывных функций - student2.ru .

Определение. Функция Свойства непрерывных функций - student2.ru непрерывна на отрезке Свойства непрерывных функций - student2.ru , если она непрерывна в каждой точке внутри отрезка, непрерывна справа в точке Свойства непрерывных функций - student2.ru Свойства непрерывных функций - student2.ru и непрерывна слева в точке Свойства непрерывных функций - student2.ru Свойства непрерывных функций - student2.ru .

Теорема (о прохождении непрерывной функции через нуль при смене знака). Пусть функция Свойства непрерывных функций - student2.ru непрерывна на отрезке Свойства непрерывных функций - student2.ru и принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда внутри отрезка Свойства непрерывных функций - student2.ru найдется хотя бы одна точка Свойства непрерывных функций - student2.ru , в которой функция обращается в нуль ( Свойства непрерывных функций - student2.ru ).

Из этой теоремы следует, что если функция Свойства непрерывных функций - student2.ru непрерывна на отрезке Свойства непрерывных функций - student2.ru и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то уравнение Свойства непрерывных функций - student2.ru имеет на этом отрезке хотя бы одно решение.

Теорема (о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Пусть функция Свойства непрерывных функций - student2.ru непрерывна на отрезке Свойства непрерывных функций - student2.ru , причем Свойства непрерывных функций - student2.ru , Свойства непрерывных функций - student2.ru . Пусть Свойства непрерывных функций - student2.ru — любое число, заключенное между Свойства непрерывных функций - student2.ru и Свойства непрерывных функций - student2.ru . Тогда на отрезке Свойства непрерывных функций - student2.ru найдется точка Свойства непрерывных функций - student2.ru такая, что Свойства непрерывных функций - student2.ru .

Прежде, чем сформулировать следующие теоремы напомним определение ограниченной функции.

Определение. Функция Свойства непрерывных функций - student2.ru называется ограниченной сверху (снизу) на множестве Свойства непрерывных функций - student2.ru , если найдется такое вещественное число Свойства непрерывных функций - student2.ru ( Свойства непрерывных функций - student2.ru ), что для всех значений аргумента Свойства непрерывных функций - student2.ru из множества Свойства непрерывных функций - student2.ru справедливо неравенство Свойства непрерывных функций - student2.ru ( Свойства непрерывных функций - student2.ru ).

Определение. Функция Свойства непрерывных функций - student2.ru называется ограниченной на множестве Свойства непрерывных функций - student2.ru , если она ограничена на этом множестве сверху и снизу, то есть если найдутся такие вещественные числа Свойства непрерывных функций - student2.ru и Свойства непрерывных функций - student2.ru , что для всех значений аргумента Свойства непрерывных функций - student2.ru из множества Свойства непрерывных функций - student2.ru справедливы неравенства Свойства непрерывных функций - student2.ru .

Заметим, что последнее неравенство можно заменить неравенством Свойства непрерывных функций - student2.ru , где Свойства непрерывных функций - student2.ru , и сформулировать следующее определение ограниченной функции: функция Свойства непрерывных функций - student2.ru называется ограниченной на множестве Свойства непрерывных функций - student2.ru , если найдется такое положительное вещественное число Свойства непрерывных функций - student2.ru , что для всех значений аргумента Свойства непрерывных функций - student2.ru из множества Свойства непрерывных функций - student2.ru справедливо неравенство Свойства непрерывных функций - student2.ru .

Функция Свойства непрерывных функций - student2.ru имеет на множестве Свойства непрерывных функций - student2.ru наибольшее значение, если найдется точка Свойства непрерывных функций - student2.ru такая что Свойства непрерывных функций - student2.ru для любого Свойства непрерывных функций - student2.ru .

Функция Свойства непрерывных функций - student2.ru имеет на множестве Свойства непрерывных функций - student2.ru наименьшее значение, если найдется точка Свойства непрерывных функций - student2.ru такая что Свойства непрерывных функций - student2.ru для любого Свойства непрерывных функций - student2.ru .

Теорема (Вейерштрасса) Если функция Свойства непрерывных функций - student2.ru непрерывна на отрезке Свойства непрерывных функций - student2.ru , то она ограничена на этом отрезке и имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение.

Заметим, что если множество Свойства непрерывных функций - student2.ru не является отрезком, то функция может быть неограниченной на рассматриваемом множестве и не иметь наибольшего или наименьшего значения.

Например, функция Свойства непрерывных функций - student2.ru ограничена на отрезке Свойства непрерывных функций - student2.ru ( Свойства непрерывных функций - student2.ru ), имеет наибольшее значение Свойства непрерывных функций - student2.ru и наименьшее значение Свойства непрерывных функций - student2.ru . Однако эта функция будет неограниченной сверху на интервале (0,1) и на этом интервале у нее нет наибольшего значения Заметим также, что несмотря на то, что функция ограничена снизу ( Свойства непрерывных функций - student2.ru для любого Свойства непрерывных функций - student2.ru ) она не имеет наименьшего значения, так как 1 не принадлежит области значений функции на рассматриваемом интервале.

Экспоненциальная функция Свойства непрерывных функций - student2.ru также ограничена на любом отрезке вещественной оси и имеет на этом отрезке наибольшее Свойства непрерывных функций - student2.ru и наименьшее Свойства непрерывных функций - student2.ru значения, но на всей числовой прямой экспонента неограниченна сверху, следовательно, у нее не существует наибольшего значения. Снизу функция ограничена, так как Свойства непрерывных функций - student2.ru , однако 0 не является наименьшим значением, так не принадлежит области значений функции (нет точки Свойства непрерывных функций - student2.ru такой, что Свойства непрерывных функций - student2.ru ).



Наши рекомендации