Решения и критерии оценивания заданий части 2

17

Решите систему неравенств

Решение.

Решим первое неравенство системы:

; ,

откуда или .

Решим второе неравенство системы:

; .

Значит, решения системы неравенств это и .

Ответ: ; .

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ
	Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера или описка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
	Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
	Максимальный балл

18

Расстояние между городами А и В равно 140 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 20 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист. Мотоциклист догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из С в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

Решение.

Пусть искомое расстояние равно км, а скорость автомобиля равна км/ч. Получаем систему уравнений

откуда . Получаем

Таким образом, или . Условию задачи удовлетворяет только (км).

Ответ: 100 км.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	Правильно составлена система уравнений, получен верный ответ
	Правильно составлена система уравнений, но при его решении допущена вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до ответа
	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
	Максимальный балл

19

Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

При функция принимает вид:

,

её график — парабола, из которой выколота точка .

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда касается параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Прямая касается параболы тогда и только тогда, когда уравнение имеет единственный корень, то есть при , .

Поэтому , или .

Ответ: , или .

Баллы	Критерии оценивания выполнения задания
	График построен правильно, верно указаны все значения , при которых прямая имеет с графиком только одну общую точку
	График построен правильно, указаны не все верные значения
	Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
	Максимальный балл

20

Окружность, проходящая через вершины и треугольника , пересекает стороны и в точках и соответственно, отличных от и . Докажите, что треугольники и подобны.

Доказательство.

Четырёхугольник вписан в окружность, поэтому

Значит, треугольники и подобны по трём углам.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	Доказательство верное, все шаги обоснованы
	Доказательство в целом верное, но содержит неточности
	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
	Максимальный балл

21

Углы при одном из оснований трапеции равны и , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 21 и 12. Найдите основания трапеции.

Решение.

Пусть — трапеция с основаниями и , . Обозначим точку пересечения прямых и через , а середины оснований и через и соответственно. Тогда . Треугольники и прямоугольные, поэтому

то есть точки , и лежат на одной прямой. Значит,

Кроме того, средняя линия трапеции равна . Значит,

откуда , .

Ответ: 9 и 33.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ
	Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка
	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
	Максимальный балл

22

Спортсмен стреляет по пяти мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна . На каждую мишень спортсмен имеет две попытки.

а) Найдите вероятность того, что спортсмен попадёт в первую мишень.

б) Найдите вероятность того, что спортсмен попадёт ровно в четыре мишени.

Решение.

а) Спортсмен не попадёт в первую мишень, если обе его попытки будут неудачными. Вероятность этого равна . Значит, вероятность того, что он попадёт в первую мишень, равна .

б) Вероятность попадания в каждую мишеней равна . Число способов выбрать четыре мишени из пяти равно 5. Значит, искомая вероятность равна .

Ответ: а) ; б) .

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
	Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б)
	Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
	Максимальный балл

[1] Каждое задание может относиться более чем к одному разделу кодификатора требований.