Геометрические векторы

Геометрический вектор - это направленный отрезок в пространстве. Обозначается: , где A₁ и A₂ - начальная и конечная точки вектора. Абстрактное обозначение вектора: и т.д. Механический смысл вектора : это изображение результата перемещения частицы из точки A₁ в точку A₂. По определению два вектора считаются равными, если один получается из другого параллельным переносом (сдвигом).Таким образом, вектор можно перенести в любую точку. Векторы можно умножать на числа и складывать (какперемещения); эти действия называются линейными. Векторы (ненулевые), лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, пропорциональны друг другу ( или коллинеарны). Нулевой вектор пропорционален любому вектору.

Прямоугольные системы координат Oxyz в трехмерном пространствебывают левые (например, оси : Oxвправо, Oy вперед, Oz вверх) и правые (например, оси :Ox вперед, Oy право, Oz вверх). Правая система не совмещается с левой поворотами (системы как целого) в пространстве. Каждая точка M пространства имеет три координаты (числа), которые записываются в скобках после обозначения точки: M(x;y;z).Например, чтобы изобразить точку M(-2;3;4), следует из начала координат O переместиться на 2 единицы в направлении, противоположном оси Ox, затем на 3 единицы в направлении оси Oy и на 4 единицы вверх; в результате мы попадем в точку M. Соответственно, каждый геометрический вектор характеризуется тремя координатами x, y, z - числовыми проекциями вектора на координатные оси. Координаты записывают в скобках после обозначения вектора: (x; y; z ).Зная координаты начальной и конечной точек A₁(x₁;y₁;z₁) и A₂(x₂;y₂;z₂) вектора , можно найти координаты x,y,z этоговектора :

x = x₂- x₁, y = y₂- y₁, z = z₂- z₁. (1) Ортами прямоугольной системы координат называются три вектора длины 1 вдоль координатных осей (ед. число - орт; слово ortho означает «прямой»). Орты образуют базис в трехмерном пространстве, так как любой вектор (x; y; z) однозначно разлагается по ортам:

= x× + y × + z × . (2)

Формула (2) устанавливает взаимно однозначное соответствие между геометрическими векторами и координатными векторами (x; y; z) из R³ .

Пример. (а)Координатысередины (центра масс, центра тяжести) K отрезка

равны полусуммам одноименных координат точек A₁ и A₂.

(б)В треугольнике A₁A₂A₃ координаты точки пересечения медиан (центра масс, центра тяжести) K равны средним арифметическим значениям одноименных координат вершин.

(в)Втреугольнойпирамиде A₁A₂A₃A₄ координаты центра масс (центра тяжести) K равны средним арифметическим значениям одноименных координат вершин пирамиды.

·Пояснение.(а) Очевидно, = 1/2 × . Расписывая это равенство

в координатах, получим x_K - x₁ = 1/2×(x₂ – x₁), откуда x_K= 1/2×(x₁ + x₂) ; аналогично находятся y_K, z_K . (б) Пусть A₁B - медиана, x_B = 1/2×(x₂+x₃). Как известно, точка K

делит медиану A₁B на отрезки в отношении 2:1 по длине (считая от вершины A₁). Тогда = 2/3× . Расписывая это равенство в координатах, получим x_K - x₁ =2/3×( x_B-x₁), откуда x_K= x₁+2/3×x_B-2/3×x₁= x₁+ 2/3×1/2×(x₂+x₃) - 2/3×x₁=(x₁+x₂+x₃)/3. Для y_K и z_K выражения аналогичны. (в) Пусть D - точка пересечения медиан треугольника A₁A₂A₃, тогда x_D=1/3×( x₁+x₂+x₃). Точка K находится на отрезке A₄D и делит его на части в отношении 3:1 по длине (считая от вершины A₄).Тогда =3/4× . Расписывая это равенство в координатах, получим x_K-x₄= 3/4 × (x_D-x₄), откуда x_K= x₄ +3/4× 1/3 ×(x₁+x₂+x₃) - 3/4×x₄ = (x₁+x₂+x₃+x₄) /4 . ·