Векторы. Основные определения.

Вектором называется направленный отрезок. К векторам относится также нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Вектор характеризуется своей длиной (модулем) и направлением.

B

Векторы. Основные определения. - student2.ru

A

Линейные операции над векторами:

1). Сложение векторов.

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Складывают два вектора по правилу параллелограмма или треугольника. Правило треугольника можно обобщить на n-слагаемых. Если каждый раз соединять начало последующего вектора с концом предыдущего, то получим ломаную линию. Вектор, соединяющий начало первого с концом последнего и есть сумма.

2). Умножение вектора на число.

При умножении вектора Векторы. Основные определения. - student2.ru на число Векторы. Основные определения. - student2.ru его модуль увеличивается (если Векторы. Основные определения. - student2.ru ) или уменьшается (если Векторы. Основные определения. - student2.ru ) в Векторы. Основные определения. - student2.ru раз, а направление не изменяется, если Векторы. Основные определения. - student2.ru и меняется на противоположное, если Векторы. Основные определения. - student2.ru .

В любом случае векторы Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарные.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Свойства линейных операций:

1). Коммутативность

Векторы. Основные определения. - student2.ru

2). Ассоциативность

Векторы. Основные определения. - student2.ru , Векторы. Основные определения. - student2.ru

3). Дистрибутивность

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru , где Векторы. Основные определения. - student2.ru

Рассмотрим систему векторов Векторы. Основные определения. - student2.ru . Выражение вида Векторы. Основные определения. - student2.ru , где Векторы. Основные определения. - student2.ru называется линейной комбинацией векторов Векторы. Основные определения. - student2.ru . Если в линейной комбинации все Векторы. Основные определения. - student2.ru , то система векторов линейно независима. Если существуют Векторы. Основные определения. - student2.ru , то система – линейно зависима.

Любая упорядоченная линейно независимая тройка векторов Векторы. Основные определения. - student2.ru называется базисом в пространстве. Векторы Векторы. Основные определения. - student2.ru называются базисными. Если базисные вектора взаимно перпендикулярны, то базис называется ортогональным. Если базисные векторы имеют единичную длину, то они называются ортами. Базис называется ортонормированным, если базисные векторы единичные и взаимно перпендикулярные. Декартова система координат – ортонормированная, орты прямоугольной декартовой системы координат обозначают Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Пусть Векторы. Основные определения. - student2.ru - некоторый базис в пространстве. Пусть Векторы. Основные определения. - student2.ru - произвольный вектор пространства. Рассмотрим линейную комбинацию

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Так как любая четвёрка векторов линейно зависима, то не все коэффициенты линейной комбинации равны 0.

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Эта формула даёт разложение вектора Векторы. Основные определения. - student2.ru по базису ( Векторы. Основные определения. - student2.ru ). Коэффициенты Векторы. Основные определения. - student2.ru - координаты вектора Векторы. Основные определения. - student2.ru в этом базисе. Разложение вектора по базису единственное, т.е. координаты вектора однозначно определяют сам вектор.

В связи с этим можно записать следующие свойства:

Пусть даны векторы Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru

1). Равные векторы имеют одинаковые координаты, т.е. если Векторы. Основные определения. - student2.ru , то Векторы. Основные определения. - student2.ru .

2). При умножении вектора на число, его координаты умножаются на это число Векторы. Основные определения. - student2.ru .

3). При сложении двух векторов складываются их соответствующие координаты Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Проекцией вектора Векторы. Основные определения. - student2.ru на вектор Векторы. Основные определения. - student2.ru называется число Векторы. Основные определения. - student2.ru , где Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Координаты вектора Векторы. Основные определения. - student2.ru в прямоугольном базисе совпадают с проекциями вектора Векторы. Основные определения. - student2.ru на базисные орты Векторы. Основные определения. - student2.ru , а длина вектора равна

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Числа Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

называются направляющими косинусами вектора Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Скалярное произведение.

Скалярным произведением двух векторов Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru называют число равное Векторы. Основные определения. - student2.ru , где Векторы. Основные определения. - student2.ru - угол между векторами Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Свойства скалярного произведения:

1). Векторы. Основные определения. - student2.ru

2). Векторы. Основные определения. - student2.ru

3). Векторы. Основные определения. - student2.ru

4). Векторы. Основные определения. - student2.ru

Если известны координаты векторов Векторы. Основные определения. - student2.ru , Векторы. Основные определения. - student2.ru , то скалярное произведение можно найти по формуле:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Скалярный квадрат вектора вычисляют по формуле:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Геометрические свойства скалярного произведения:

1). Векторы. Основные определения. - student2.ru

2). Если Векторы. Основные определения. - student2.ru , если Векторы. Основные определения. - student2.ru

3). Формула для определения угла между векторами:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторное произведение.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов Векторы. Основные определения. - student2.ru называется правой, если поворот вектора Векторы. Основные определения. - student2.ru к вектору Векторы. Основные определения. - student2.ru на наименьший угол в плоскости векторов Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru виден из конца вектора Векторы. Основные определения. - student2.ru происходящим против движения часовой стрелки.

В случае, если поворот по часовой стрелке, тройка называется левой.

Векторы. Основные определения. - student2.ru Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторным произведением Векторы. Основные определения. - student2.ru называется вектор Векторы. Основные определения. - student2.ru , определяемый следующими условиями:

1). Тройка векторов Векторы. Основные определения. - student2.ru правая

2). Вектор Векторы. Основные определения. - student2.ru перпендикулярен Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru

3). Длина вектора Векторы. Основные определения. - student2.ru равна площади параллелограмма, построенного на векторах Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru , т.е.

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Из определения векторного произведения следует, что

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Свойства векторного произведения:

1). Векторы. Основные определения. - student2.ru

2). Векторы. Основные определения. - student2.ru

3). Векторы. Основные определения. - student2.ru

4). Векторы. Основные определения. - student2.ru

В координатной форме векторное произведение вычисляется по формуле:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Смешанное произведение.

Смешанным произведением трёх векторов называют число равное Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Геометрические свойства:

1). Если V – объём параллелепипеда, построенного на векторах Векторы. Основные определения. - student2.ru , то Векторы. Основные определения. - student2.ru . Если Векторы. Основные определения. - student2.ru - правая тройка, то Векторы. Основные определения. - student2.ru , если левая, то Векторы. Основные определения. - student2.ru .

2). Вектора Векторы. Основные определения. - student2.ru компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка не меняет его величины, т.е.

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Это свойство позволяет ввести обозначение:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

(результат не зависит от того, как расставить скобки в правой части)

Смешанное произведение через координаты записывается в виде:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Примеры:

1. Доказать, что векторы Векторы. Основные определения. - student2.ru образуют базис и найти разложение вектора Векторы. Основные определения. - student2.ru в этом базисе.

Решение: Векторы в пространстве образуют базис, если они не- компланарны. Найдём смешанное произведение этих векторов.

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Следовательно, векторы Векторы. Основные определения. - student2.ru образуют базис. Пусть вектор Векторы. Основные определения. - student2.ru имеет в этом базисе координаты Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Тогда Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты.

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Решив эту систему, найдём Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Таким образом, Векторы. Основные определения. - student2.ru .

2. Даны точки Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Найти: а). длину отрезка АВ,

б). Векторы. Основные определения. - student2.ru в Векторы. Основные определения. - student2.ru ,

в). Векторы. Основные определения. - student2.ru ,

г). направляющие Векторы. Основные определения. - student2.ru и единичный вектор направления Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Решение: а). Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

б). угол B в Векторы. Основные определения. - student2.ru есть угол между векторами Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

в). Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

г). Векторы. Основные определения. - student2.ru

Направляющие Векторы. Основные определения. - student2.ru .

3. Найти Векторы. Основные определения. - student2.ru , если Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Решение: Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

4. При каком Векторы. Основные определения. - student2.ru векторы Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru перпендикулярны?

Решение: Векторы. Основные определения. - student2.ru

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

5. Найти угол между векторами Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

6. Найти угол между векторами Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru , где Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru - единичные векторы и угол между ними равен Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Векторы. Основные определения. - student2.ru Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

7. Найти векторное произведение векторов Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

8. Вычислить площадь треугольника с вершинами Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Решение: Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

9. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru , если Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

10. Даны точки Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Найти: а). высоту Векторы. Основные определения. - student2.ru , опущенную из вершины А на сторону ВС;

б). объём пирамиды ABCD.

а). С одной стороны Векторы. Основные определения. - student2.ru , с другой стороны Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Таким образом, Векторы. Основные определения. - student2.ru .

B Векторы. Основные определения. - student2.ru

h

A C

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru Векторы. Основные определения. - student2.ru Векторы. Основные определения. - student2.ru

б). Объём пирамиды ABCD равен Векторы. Основные определения. - student2.ru объёма параллелепипеда, построенного на векторах Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

11. Доказать, что точки Векторы. Основные определения. - student2.ru лежат в одной плоскости.

Рассмотрим векторы Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Найдём их смешанное произведение:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Значит, векторы компланарны, следовательно, точки A,B,C,D лежат в одной плоскости.

12. Дана пирамида, вершины которой имеют координаты: Векторы. Основные определения. - student2.ru . Найти высоту, опущенную на грань BCD.

Решение: С одной стороны Векторы. Основные определения. - student2.ru с другой Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Таким образом, Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Следовательно, Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Прямая на плоскости.

Прямая на плоскости может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1). Векторы. Основные определения. - student2.ru - общее уравнение прямой;

2). Векторы. Основные определения. - student2.ru - уравнение с угловым коэффициентом. Векторы. Основные определения. - student2.ru - угловой коэффициент и он равен тангенсу угла наклона прямой с положительным направлением оси Векторы. Основные определения. - student2.ru ;

3). Векторы. Основные определения. - student2.ru - уравнение прямой, проходящей через точку Векторы. Основные определения. - student2.ru перпендикулярно нормальному вектору Векторы. Основные определения. - student2.ru ;

4). Векторы. Основные определения. - student2.ru - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку Векторы. Основные определения. - student2.ru параллельно направляющему вектору Векторы. Основные определения. - student2.ru ;

5). Векторы. Основные определения. - student2.ru - параметрические уравнения прямой;

6). Векторы. Основные определения. - student2.ru - уравнение прямой, проходящей через две точки Векторы. Основные определения. - student2.ru ;

7). Векторы. Основные определения. - student2.ru - уравнение прямой в отрезках на осях, где a и b величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях;

8). Векторы. Основные определения. - student2.ru - нормальное уравнение прямой, где Векторы. Основные определения. - student2.ru - угол, который образует нормальный вектор, направленный из начала координат к прямой, p – расстояние от начала координат до прямой.

Общее уравнение (1) приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель:

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Если прямая l задана нормальным уравнением, а Векторы. Основные определения. - student2.ru - некоторая точка плоскости, то выражение: Векторы. Основные определения. - student2.ru называется отклонением точки Векторы. Основные определения. - student2.ru от прямой l.

Знак Векторы. Основные определения. - student2.ru указывает на взаимное расположение точки Векторы. Основные определения. - student2.ru , прямой l и начала координат. Если точка Векторы. Основные определения. - student2.ru и начало координат лежат по разные стороны от прямой l, то Векторы. Основные определения. - student2.ru , а если по одну, то Векторы. Основные определения. - student2.ru . Расстояние от точки Векторы. Основные определения. - student2.ru до прямой l находится по формуле:

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Угол между двумя прямыми.

1). Пусть заданы две прямые:

Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru

Нормальные векторы прямых имеют координаты:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Угол между прямыми можно найти как угол между нормальными векторами:

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Условие параллельности двух прямых:

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Условие перпендикулярности:

Векторы. Основные определения. - student2.ru т.е. Векторы. Основные определения. - student2.ru .

2). Если прямые заданы каноническими уравнениями:

Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru ,

то их направляющие векторы: Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Аналогично с п.1). имеем:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Условие параллельности:

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Условие перпендикулярности:

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

3). Если две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

Векторы. Основные определения. - student2.ru ,

тогда угол между прямыми можно вычислить по формуле:

Векторы. Основные определения. - student2.ru ,

при этом угол Векторы. Основные определения. - student2.ru отсчитывается в направлении от первой прямой ко второй.

Условие параллельности:

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Условие перпендикулярности:

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Примеры:

1. Дано общее уравнение прямой: Векторы. Основные определения. - student2.ru . Напишите различные типы уравнений этой прямой.

а). Уравнение прямой в отрезках;

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

б). Уравнение прямой с угловым коэффициентом;

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

в). нормальное уравнение прямой;

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку Векторы. Основные определения. - student2.ru перпендикулярно вектору Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Решение: Воспользуемся уравнением Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Векторы. Основные определения. - student2.ru и начало координат.

Решение: Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

4. Написать уравнение прямой с направляющим вектором Векторы. Основные определения. - student2.ru и проходящей через точку Векторы. Основные определения. - student2.ru

Решение: Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

5. Найти угол между прямыми Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru

Решение: Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

6. Показать, что прямые Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru перпендикулярны.

Решение: Векторы. Основные определения. - student2.ru

Найдём скалярное произведение Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru , следовательно, прямые перпендикулярны.

7. Даны вершины треугольника Векторы. Основные определения. - student2.ru . Найти уравнения медианы, высоты, биссектрисы, проведённых из вершины С.

С

А Н М К В

а). медиана СМ

точка М – середина отрезка АВ.

Найдём координаты точки М:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Итак, точка Векторы. Основные определения. - student2.ru

Найдём уравнение СМ как прямой, проходящей через 2 точки М(3,3) и С(12,-1)

Векторы. Основные определения. - student2.ru

б). высота СН

Так как Векторы. Основные определения. - student2.ru , то вектор Векторы. Основные определения. - student2.ru , значит он является нормальным для прямой СН, также известны координаты точки С, через которую проходит прямая СН.

Векторы. Основные определения. - student2.ru

в). биссектриса СК

Воспользуемся следующим свойством биссектрисы: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.

Возьмём на биссектрисе СК текущую точку Векторы. Основные определения. - student2.ru . По свойству имеем: Векторы. Основные определения. - student2.ru . Но Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru есть расстояния от точки N до АС и ВС соответственно.

C

Векторы. Основные определения. - student2.ru Векторы. Основные определения. - student2.ru

N

A K B Составим уравнения АС и ВС:

АС: Векторы. Основные определения. - student2.ru

ВС: Векторы. Основные определения. - student2.ru

Нормируем эти уравнения:

Векторы. Основные определения. - student2.ru , следовательно, АС: Векторы. Основные определения. - student2.ru ,

тогда Векторы. Основные определения. - student2.ru ;

Векторы. Основные определения. - student2.ru , следовательно, ВС: Векторы. Основные определения. - student2.ru ,

тогда Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Так как Векторы. Основные определения. - student2.ru

Для того, чтобы снять модули в этом соотношении, установим положение начала координат относительно прямых АС и ВС. Так как нормали Векторы. Основные определения. - student2.ru из точки О в сторону АС и ВС сонаправлены, то соотношение Векторы. Основные определения. - student2.ru примет вид:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

СК: Векторы. Основные определения. - student2.ru .

8. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку Векторы. Основные определения. - student2.ru и составляющих с прямой Векторы. Основные определения. - student2.ru угол Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Будем искать уравнение прямой в виде Векторы. Основные определения. - student2.ru . Так как прямая проходит через точку А, то её координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. Векторы. Основные определения. - student2.ru . Угол между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами можно найти по формуле:

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Так как угловой коэффициент данной прямой равен Векторы. Основные определения. - student2.ru , а угол Векторы. Основные определения. - student2.ru , то Векторы. Основные определения. - student2.ru

Имеем два значения k:

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Найдём соответствующие значения b: Векторы. Основные определения. - student2.ru

Получили две искомые прямые: Векторы. Основные определения. - student2.ru .

9. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного прямой и осями координат равна 8.

Векторы. Основные определения. - student2.ru Будем искать уравнение прямой в отрезках

Векторы. Основные определения. - student2.ru , так как Векторы. Основные определения. - student2.ru , то Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

10. При каких значениях параметра t прямые Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru параллельны?

Прямые, заданные общими уравнениями параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е.

Векторы. Основные определения. - student2.ru

11. Найти уравнение общей хорды двух окружностей: Векторы. Основные определения. - student2.ru Векторы. Основные определения. - student2.ru

Решение: Найдём точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Соответственно, Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки Векторы. Основные определения. - student2.ru , через которые проходит эта прямая:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

12. Найти расстояние от точки Векторы. Основные определения. - student2.ru до прямой Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Решение: Нормируем уравнение прямой Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Плоскость в пространстве.

Плоскость в пространстве может быть задана одним из следующих уравнений:

1). Векторы. Основные определения. - student2.ru - общее уравнение плоскости;

2). Векторы. Основные определения. - student2.ru - уравнение плоскости, проходящей через точку Векторы. Основные определения. - student2.ru перпендикулярно нормальному вектору Векторы. Основные определения. - student2.ru ;

3). Векторы. Основные определения. - student2.ru - уравнение плоскости в отрезках, Векторы. Основные определения. - student2.ru - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат;

4). Векторы. Основные определения. - student2.ru - уравнение плоскости, проходящей через точки Векторы. Основные определения. - student2.ru ;

5). Векторы. Основные определения. - student2.ru - уравнение плоскости, проходящей через точку Векторы. Основные определения. - student2.ru параллельно двум неколлинеарным векторам Векторы. Основные определения. - student2.ru ;

6). Векторы. Основные определения. - student2.ru - нормальное уравнение плоскости, где Векторы. Основные определения. - student2.ru - направляющие косинусы нормального вектора Векторы. Основные определения. - student2.ru , направленного из начала координат к плоскости, Векторы. Основные определения. - student2.ru - расстояние от начала координат до плоскости.

Общее уравнение приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Если плоскость Векторы. Основные определения. - student2.ru задана нормальным уравнением и точка Векторы. Основные определения. - student2.ru - некоторая точка пространства, то выражение Векторы. Основные определения. - student2.ru называется отклонением точки Векторы. Основные определения. - student2.ru от плоскости Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Расстояние от точки Векторы. Основные определения. - student2.ru до плоскости Векторы. Основные определения. - student2.ru определяется равенством

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Две плоскости Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru параллельны, если Векторы. Основные определения. - student2.ru , т.е. Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru коллинеарны, перпендикулярны, если Векторы. Основные определения. - student2.ru , т.е. Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Угол между плоскостями есть угол между нормалями:

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Прямая в пространстве.

Прямая в пространстве может быть задана:

1). Общими уравнениями

Векторы. Основные определения. - student2.ru ,

что равносильно её заданию как линии пересечения двух плоскостей;

2). Каноническим уравнением

Векторы. Основные определения. - student2.ru ,

прямая проходит через точку Векторы. Основные определения. - student2.ru параллельно направляющему вектору Векторы. Основные определения. - student2.ru ;

3). Параметрическими уравнениями

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Заметим, что направляющий вектор прямой Векторы. Основные определения. - student2.ru можно найти как векторное произведение нормальных векторов Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru , т.е.

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Угол между прямыми есть угол между направляющими векторами

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Угол между прямой Векторы. Основные определения. - student2.ru и плоскостью Векторы. Основные определения. - student2.ru определяется по формуле:

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Условие параллельности прямой и плоскости: Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:

Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Две прямые лежат в одной плоскости, если компланарны векторы Векторы. Основные определения. - student2.ru , т.е. их смешанное произведение равно 0, т.е.

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Если Векторы. Основные определения. - student2.ru , то прямые являются скрещивающимися.

Примеры:

1. Составьте уравнение плоскости, зная что точка Векторы. Основные определения. - student2.ru служит основанием перпендикуляра, проведённого из начала координат к этой плоскости.

Решение: По условию задачи вектор Векторы. Основные определения. - student2.ru является нормальным вектором плоскости и точка Векторы. Основные определения. - student2.ru принадлежит плоскости.

Воспользуемся уравнением:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки: Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru и перпендикулярной плоскости Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Решение: Вектор нормали к плоскости Векторы. Основные определения. - student2.ru параллелен искомой плоскости.

Выберем на плоскости текущую точку Векторы. Основные определения. - student2.ru . Векторы Векторы. Основные определения. - student2.ru - компланарны. Тогда

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Векторы. Основные определения. - student2.ru и образующей с плоскостью Векторы. Основные определения. - student2.ru угол Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Решение: Плоскость, проходящая через ось Векторы. Основные определения. - student2.ru задаётся уравнением Векторы. Основные определения. - student2.ru , где А и В одновременно в ноль не обращаются. Пусть Векторы. Основные определения. - student2.ru , тогда Векторы. Основные определения. - student2.ru . Обозначим Векторы. Основные определения. - student2.ru , тогда уравнение плоскости примет вид Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Нормальный вектор данной плоскости Векторы. Основные определения. - student2.ru , искомой плоскости Векторы. Основные определения. - student2.ru .

По формуле косинуса угла между двумя плоскостями имеем:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Откуда получаем две плоскости: Векторы. Основные определения. - student2.ru

4. В пучке, определяемом плоскостями Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru , найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Решение: Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

Векторы. Основные определения. - student2.ru или

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Для того, чтобы выделить из пучка плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты этой точки в уравнение пучка

Векторы. Основные определения. - student2.ru

откуда имеем Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Тогда уравнение плоскости, содержащей точку М, найдём, подставив соотношение Векторы. Основные определения. - student2.ru в уравнение пучка

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Так как Векторы. Основные определения. - student2.ru (иначе Векторы. Основные определения. - student2.ru , а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение: Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности нормальных векторов:

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:

Векторы. Основные определения. - student2.ru

или (в силу того, что Векторы. Основные определения. - student2.ru ) Векторы. Основные определения. - student2.ru

5. Даны координаты вершин пирамиды Векторы. Основные определения. - student2.ru

Найти угол между ребром Векторы. Основные определения. - student2.ru и гранью Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Решение: Найдём вектор нормали к грани Векторы. Основные определения. - student2.ru , как векторное произведение Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Найдём координаты вектора Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Найдём угол Векторы. Основные определения. - student2.ru между вектором нормали и Векторы. Основные определения. - student2.ru :

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Искомый угол между вектором и плоскостью равен Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Векторы. Основные определения. - student2.ru

6. Даны плоскость Векторы. Основные определения. - student2.ru , прямая Векторы. Основные определения. - student2.ru и точка Векторы. Основные определения. - student2.ru .

а). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и параллельной плоскости Векторы. Основные определения. - student2.ru .

В качестве вектора нормали к искомой плоскости можно взять Векторы. Основные определения. - student2.ru - нормаль Векторы. Основные определения. - student2.ru . Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид: Векторы. Основные определения. - student2.ru .

б). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М и параллельной Векторы. Основные определения. - student2.ru . В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять Векторы. Основные определения. - student2.ru - направляющий вектор Векторы. Основные определения. - student2.ru . Тогда уравнение прямой: Векторы. Основные определения. - student2.ru

в). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной Векторы. Основные определения. - student2.ru .

В качестве вектора нормали к исходной плоскости можно взять Векторы. Основные определения. - student2.ru - направляющий вектор Векторы. Основные определения. - student2.ru и уравнение плоскости будет Векторы. Основные определения. - student2.ru

г). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Направляющим вектором искомой прямой можно взять Векторы. Основные определения. - student2.ru - нормаль Векторы. Основные определения. - student2.ru . Отсюда получим уравнение прямой Векторы. Основные определения. - student2.ru

д). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и прямую Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Запишем уравнение Векторы. Основные определения. - student2.ru в параметрической форме: Векторы. Основные определения. - student2.ru Придав Векторы. Основные определения. - student2.ru два различных значения, например, Векторы. Основные определения. - student2.ru найдём две точки прямой.

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Векторы. Основные определения. - student2.ru

Точки Векторы. Основные определения. - student2.ru принадлежат искомой плоскости. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

е). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной плоскостям Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru .

В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять векторное произведение Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru - нормальных векторов Векторы. Основные определения. - student2.ru и Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Векторы. Основные определения. - student2.ru .

Наши рекомендации