Теорема Лагранжа (1736-1813)

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма (1601-1665гг)

Теорема 14.1. Пусть функция определена на отрезке и во внутренней точке с этого отрезка принимает наибольшее и наименьшее значение. Тогда, если существует производная , то она равна 0, т.е. .

Доказательство:

Докажем для случая, когда функция принимает в точке с наибольшее значение, т.е.

Пусть определена на отрезке и во внутренней точке с этого отрезка принимает наибольшее значение: В точке с существует производная Требуется доказать, что

Дадим точке с приращение так как не вышла за пределы запишем в точке с, функция принимает наибольшее значение, то

1) Предположим, что т.е. то будем иметь:

Переходя к пределу:

2) Предположим, что т.е. то будем иметь:

Переходя к пределу:

Из двух неравенств следует, что .

Аналогично, когда в точке , функция достигает своего наименьшего значения. Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма

Вспомним геометрический смысл производной в точке : - угловой коэффициент касательной в точке , а если , то касательная параллельна оси Ох.

Теорема М. Ролля (1652-1719)

Теорема 14.2. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах интервала принимает равные значения , то между точками найдется, по крайней мере, одна точка : .

Доказательство:

Пусть для функции условия теоремы выполняются. Т.к. непрерывна на отрезке по теореме 2 Вейерштрасса она принимает на этом отрезке свои наибольшие и наименьшие значения: М и т.

Рассмотрим два случая:

1) По определению наибольшего и наименьшего значения из отрезка выполняется неравенство: а производная от

2) Оба эти значения функция достигает на отрезке и так как по условию теоремы то оба эти значения не могут достигаться одновременно на концах . Значит, одно из этих значений достигается внутри интервала , то есть в точке . В таком случае, мы находимся в условии теоремы Ферма, на основании которой Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ролля

Если , то - есть угловой коэффициент касательной и , следовательно, касательная параллельна . Смысл в том, что найдется такая точка , в которой касательная к ней параллельна оси .

Теорема Лагранжа (1736-1813)

Теорема 14.3. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируемая на промежутке , то между точками и найдется, такая точка , что имеет место равенство:

.

Доказательство:

Пусть - непрерывна на отрезке и дифференцируема на промежутке Рассмотрим вспомогательную функцию , где

- удовлетворяет условию теоремы Ролля на отрезке . В самом деле, она непрерывна на отрезке , как алгебраическая сумма непрерывных функций, следовательно, она дифференцируема на промежутке Ее производная равна:

достигается непосредственным вычислением. На основании теоремы Ролля между точками существует такая точка с, что

Но

Отсюда, . Теорема доказана.