Методики выполнения расчетов

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Расчет переходных процессов классическим методом в электрических цепях, в которых осуществляется коммутация, необходимо выполнять в следующей последовательности:

- для цепи, получаемой после коммутации, необходимо составить систему независимых уравнений в мгновенных значениях токов и напряжений на основании законов Кирхгофа. В результате получается система интегро-дифференциальных уравнений;

- систему уравнений решить относительно одной выбранной переходной величины с целью получения дифференциального уравнения. В качестве переходной величины рекомендуется выбирать либо напряжение u_C на емкости, либо ток i_L в индуктивности, так как для них проще определить начальные условия u_C (0) и i_L (0), исходя из законов коммутации. В результате решения получается линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка;

- для полученного ЛНДУ необходимо записать характеристическое уравнение. В целях проверки правильности полученного характеристического уравнения рекомендуется получить ЛНДУ относительно другой переходной величины (если первое ЛНДУ относительно напряжения u_C, то второе – относительно тока i_L и наоборот). В обоих случаях характеристическое уравнение должно быть одним и тем же;

- для определения критического сопротивления R_КР необходимо дискриминант выражения для определения корней характеристического уравнения приравнять к нулю. Критическое сопротивление может быть только положительным числом;

- для выбора значения сопротивления R, обеспечивающего заданный вид переходного процесса, необходимо исследовать зависимость дискриминанта D от R. При этом возможны варианты, представленные на рисунках 1 и 2.

Рисунок 1 Рисунок 2

- области, где D > 0 соответствуют апериодическому переходному процессу, а где D < 0 – колебательному. Для удобства дальнейших расчетов значения сопротивления R рекомендуется выбирать целочисленным. Например, зависимость D(R) соответствует рисунку 1, критическое сопротивление R_КР = 33,3 Ом. Тогда, для обеспечения колебательного переходного процесса целесообразно выбрать значение R = 1 Ом, а для обеспечения апериодического переходного процесса – R = 100 Ом.

- для определения возможных ошибок необходимо подставить выбранное значение сопротивления R в дискриминант и убедиться, что знак дискриминанта соответствует заданному виду переходного процесса (для апериодического процесса D > 0, а для колебательного D < 0).

- ЛНДУ интегрируется с использованием приемов классической математики. Решение ЛНДУ и дает закон изменения переходного напряжения или тока во времени.

Как известно, общее решение ЛНДУ состоит из суммы общего решения однородного дифференциального уравнения (свободная составляющая) и частного решения ЛНДУ (принужденная составляющая). Например, переходное напряжение на емкости

u_C = u_CCB + u_СПР,

а переходный ток в индуктивности

i_L = i_LCB + i_LПР.

Выражение свободной составляющей, например, тока i_L в индуктивности для ЛНДУ второго порядка будет иметь вид

i_LCB = , (1)

где А₁, А₂ – постоянные интегрирования;

р₁, р₂ – корни характеристического уравнения.

Выражением (1) целесообразно пользоваться в случае, когда корни характеристического уравнения вещественные.

В случае пары комплексно-сопряженных корней ( - коэффициент затухания колебаний, - частота собственных затухающих колебаний) решение целесообразно записать в виде

,

где - постоянные интегрирования.

- принужденную составляющую переходного напряжения или тока находят путем расчета цепи, полученной после коммутации, без учета переходного процесса. Поэтому для ее определения используют все известные методы расчета электрических цепей в установившихся режимах. Если после коммутации исследуемая цепь не содержит источников энергии, то принужденное значение всех величин равны нулю. При определении начальных и принужденных значений токов и напряжений следует учитывать, что сопротивление идеальной катушки индуктивности постоянному току равно нулю, а идеального конденсатора – бесконечности. В момент включения, наоборот, сопротивление катушки индуктивности равно бесконечности, а конденсатора – нулю.

- для определения постоянных интегрирования необходимо знать значение искомой величины и ее первой производной в начальный момент времени t = 0. Для этого составляют и решают систему из двух алгебраических уравнений. Например, для переходного напряжения u_C на емкости система уравнений имеет вид

Значение u_C (0) находят по законам коммутации, а (0) по исходной системе уравнений и независимым начальным условиям;

- для определения других переходных величин необходимо воспользоваться законами Ома и Кирхгофа или интегрально-дифференциальными соотношениями для напряжений и токов в индуктивностях и емкостях

- для определения возможных ошибок в расчетах необходимо провести проверку. В полученные выражения для всех переходных величин подставить два значения времени t₁ = 0 и . Для t₁ = 0 должны быть получены начальные значения всех переходных величин, а для - их принужденные значения;

- расчет переходных процессов классическим методом завершают построением графиков временных зависимостей

Пример расчета переходных процессов классическим методом приведен в приложении А.