Условия параллельности и перпендикулярности

прямой и плоскости в пространстве.

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

Поверхности второго порядка.

Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.

Цилиндрические поверхности.

Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой.

Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:

1) Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru - эллиптический цилиндр.

Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

2) Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru - гиперболический цилиндр.

 
  Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

2) x2 = 2py – параболический цилиндр.

 
  Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

Поверхности вращения.

Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращенияс осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x2 + y2, z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x2 + z2, y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z2 + y2, x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.

Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:

1) Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru - эллипсоид вращения

2) Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru - однополостный гиперболоид вращения

3) Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru - двуполостный гиперболоид вращения

4) Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru - параболоид вращения

Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.

Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:

Сфера: Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

 
  Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

Трехосный эллипсоид: Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.

 
  Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

Однополостный гиперболоид: Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

 
  Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

Двуполостный гиперболоид: Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

 
  Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

Эллиптический параболоид: Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

 
  Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

Гиперболический параболоид: Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

 
  Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

Конус второго порядка: Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

 
  Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru

Цилиндрическая и сферическая системы координат.

Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно рассмотрена выше.

Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вектору нормали Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru .

Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой прямоугольной системами координат точку О совмещяют с началом декартовой прямоугольной системы координат, луч l – с положительным направлением оси х, вектор нормали – с осью z.

Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях, когда уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной системе координат выглядят достаточно сложно, и операции с таким уравнением представляются трудоемкими.

Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе позволяет значительно упростить вычисления, что будет показано далее.

Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru z

М

r

j h

0 q x

r

M1

y

Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru ОМ1 = r; MM1 = h;

Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1 будет иметь на плоскости полярные координаты (r, q).

Определение. Цилиндрическими координатамиточки М называются числа (r, q, h), которые определяют положение точки М в пространстве.

Определение. Сферическими координатамиточки М называются числа (r,j,q), где j - угол между r и нормалью.

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной

системами координат.

Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать соотношения, связывающие между собой различные системы координат в пространстве. Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид:

h = z; x = rcosq; y = rsinq; cosq = Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru ; sinq = Условия параллельности и перпендикулярности - student2.ru .

Наши рекомендации