Связь сферической системы координат с

декартовой прямоугольной.

В случае сферической системы координат соотношения имеют вид:

Связь сферической системы координат с - student2.ru

Связь сферической системы координат с - student2.ru

Линейное (векторное) пространство.

Как известно, линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число) определены по-своему для каждого множества (числа, многочлены, направленные отрезки, матрицы). Сами операции различны, но их свойства одинаковы.

Эта общность свойств позволяет обобщить понятие линейных операций для любых множеств вне зависимости от того, что это за множества (числа, матрицы и т.д.).

Для того, чтобы дать определение линейного (векторного) пространства рассмотрим некоторое множество L действительных элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число.

Эти операции обладают свойствами:

1) Коммутативность Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru = Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru

2) Ассоциативность ( Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru ) + Связь сферической системы координат с - student2.ru = Связь сферической системы координат с - student2.ru + ( Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru )

3)Существует такой нулевой вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru , что Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru = Связь сферической системы координат с - student2.ru для " Связь сферической системы координат с - student2.ru Î L

4) Для " Связь сферической системы координат с - student2.ru Î L существует вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru = - Связь сферической системы координат с - student2.ru , такой, что Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru = Связь сферической системы координат с - student2.ru

5)1× Связь сферической системы координат с - student2.ru = Связь сферической системы координат с - student2.ru

6) a(b Связь сферической системы координат с - student2.ru ) = (ab) Связь сферической системы координат с - student2.ru

7) Распределительный закон (a + b) Связь сферической системы координат с - student2.ru = a Связь сферической системы координат с - student2.ru + b Связь сферической системы координат с - student2.ru

8) a( Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru ) = a Связь сферической системы координат с - student2.ru + a Связь сферической системы координат с - student2.ru

Определение: Множество L называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

Важно не путать понятие вектора, приведенное выше с понятием вектора как направленного отрезка на плоскости или в пространстве. Направленные отрезки являются всего лишь частным случаем элементов линейного (векторного) пространства. Линейное (векторное) пространство – понятие более широкое. Примерами таких пространств могут служить множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д.

Если операции сложения и умножения на число определены для действительных элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством.

Свойства линейных пространств.

1) В каждом линейном пространстве существует только один нулевой элемент.

2) Для каждого элемента существует только один противоположный элемент.

3) Для каждого Связь сферической системы координат с - student2.ru Î L верно 0× Связь сферической системы координат с - student2.ru = 0

4) Для каждого a Î R и Связь сферической системы координат с - student2.ru Î L верно a× Связь сферической системы координат с - student2.ru = Связь сферической системы координат с - student2.ru

5) Если a× Связь сферической системы координат с - student2.ru = Связь сферической системы координат с - student2.ru , то a = 0 или Связь сферической системы координат с - student2.ru = Связь сферической системы координат с - student2.ru

6) (-1) Связь сферической системы координат с - student2.ru = - Связь сферической системы координат с - student2.ru

Линейные преобразования.

Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Связь сферической системы координат с - student2.ru Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент А Связь сферической системы координат с - student2.ru Î L.

Определение: Преобразование А называется линейным, если для любых векторов Связь сферической системы координат с - student2.ru Î L и Связь сферической системы координат с - student2.ru Î L и любого a верно:

A( Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru ) = A Связь сферической системы координат с - student2.ru +A Связь сферической системы координат с - student2.ru

A(a Связь сферической системы координат с - student2.ru ) = aA Связь сферической системы координат с - student2.ru

Определение: Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.

Е Связь сферической системы координат с - student2.ru = Связь сферической системы координат с - student2.ru

Пример. Является ли А линейным преобразованием. А Связь сферической системы координат с - student2.ru = Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru ; Связь сферической системы координат с - student2.ru ¹ 0.

Запишем преобразование А для какого- либо элемента Связь сферической системы координат с - student2.ru . А Связь сферической системы координат с - student2.ru = Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru

Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А( Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru ) = Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru ; A( Связь сферической системы координат с - student2.ru ) + A( Связь сферической системы координат с - student2.ru ) = Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru + Связь сферической системы координат с - student2.ru , что верно только при Связь сферической системы координат с - student2.ru = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.

Определение: Если в пространстве L имеются векторы линейного преобразования Связь сферической системы координат с - student2.ru , то другой вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru является линейной комбинацией векторов Связь сферической системы координат с - student2.ru .

Определение: Если Связь сферической системы координат с - student2.ru только при a = b = … = l = 0, то векторы Связь сферической системы координат с - student2.ru называются линейно независимыми.

Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства L.

Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

Матрицы линейных преобразований.

Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом Связь сферической системы координат с - student2.ru , Связь сферической системы координат с - student2.ru ,…, Связь сферической системы координат с - student2.ru задано линейное преобразование А. Тогда векторы А Связь сферической системы координат с - student2.ruСвязь сферической системы координат с - student2.ru ,…,А Связь сферической системы координат с - student2.ru - также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A Связь сферической системы координат с - student2.ru = a11 Связь сферической системы координат с - student2.ru + a21 Связь сферической системы координат с - student2.ru +…+ an1 Связь сферической системы координат с - student2.ru

A Связь сферической системы координат с - student2.ru = a12 Связь сферической системы координат с - student2.ru + a22 Связь сферической системы координат с - student2.ru +…+ an2 Связь сферической системы координат с - student2.ru

……………………………….

A Связь сферической системы координат с - student2.ru = an1 Связь сферической системы координат с - student2.ru + an2 Связь сферической системы координат с - student2.ru +…+ ann Связь сферической системы координат с - student2.ru

Тогда матрица А = Связь сферической системы координат с - student2.ru называется матрицей линейного преобразования А.

Если в пространстве L взять вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru = x1 Связь сферической системы координат с - student2.ru + x2 Связь сферической системы координат с - student2.ru +…+ xn Связь сферической системы координат с - student2.ru , то A Связь сферической системы координат с - student2.ru Î L.

Связь сферической системы координат с - student2.ru , где

Связь сферической системы координат с - student2.ru

Связь сферической системы координат с - student2.ru

……………………………..

Связь сферической системы координат с - student2.ru

Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе Связь сферической системы координат с - student2.ru , Связь сферической системы координат с - student2.ru ,…, Связь сферической системы координат с - student2.ru .

В матричном виде:

Связь сферической системы координат с - student2.ru , А× Связь сферической системы координат с - student2.ru , Связь сферической системы координат с - student2.ru

Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:

x¢ = x + y

y¢ = y + z

z¢ = z + x

x¢ = 1×x + 1×y + 0×z

y¢ = 0×x + 1×y + 1×z

z¢ = 1×x + 0×y + 1×z

A = Связь сферической системы координат с - student2.ru

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Определение: Если вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru переводится в вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru линейным преобразованием с матрицей А, а вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru в вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru в вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru (оно называется произведением составляющих преобразований).

С = В×А

Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru в вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru и линейное преобразование В, переводящее вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru в вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru в вектор Связь сферической системы координат с - student2.ru .

Связь сферической системы координат с - student2.ru

Связь сферической системы координат с - student2.ru

Связь сферической системы координат с - student2.ru

С = В×А

Связь сферической системы координат с - student2.ru

Связь сферической системы координат с - student2.ru

Т.е. Связь сферической системы координат с - student2.ru

Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

Наши рекомендации