Связь координат вектора и его образа

Вопросы для самоконтроля:

1.Что называется линейным оператором (преобразованием) линейного пространства?

2.Дайте определение матрицы линейного оператора (преобразования) в данном базисе.

3.Как связаны матрицы линейного преобразования в разных базисах?

4.Как найти координаты образа вектора при линейном преобразовании?

5.Что такое сумма, произведение линейных операторов (преобразований), произведение линейного оператора (преобразования) на число?

6.Какова матрица суммы, произведения линейных преобразований?

ВАРИАНТ 1

1.В линейном пространстве A3 задан оператор φ такой, что для x=(x1, x2, x3): φx=(x2+x3, 2x1+x3, 3x1–x2+x3). Доказать, что φ – линейный оператор. Найти его матрицы в базисах:

1) e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1);

2) a1=(1,1,1), a2=(2,1,3), a3=(4,1,6).

2.Векторы a1=(2,3,5), a2=(0,1,2), a3=(1,0,0) линейным оператором φ преобразуются соответственно в векторы b1=(1,1,1), b2=(1,1,-1), b3=(2,1,2). Найти матрицу этого оператора в том базисе, в котором указаны координаты векторов ai и bi, i=1,2,3.

3.Дана матрица М линейного оператора в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=2e1–e2+3e3.

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

ВАРИАНТ 2

1.Показать, что ортогональное проектирование трехмерного пространства V3 на ось Ox есть линейный оператор. Найти его матрицу в базисе связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru .

2.Линейное преобразование φ в базисе e1, e2, e3 имеет матрицу М. Найти матрицу этого преобразования в базисе e1’=e1, e2’=e1+e2, e3’=e1+e2+e3.

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

3.Линейное преобразование φ:L→L, dimL=2, переводит векторы a1=(1,3), a2=(2,1) соответственно в векторы b1=(0,2), b2=(1,1). Найти матрицы преобразования φ в базисах:

1) e1=(1,0), e2=(0,1);

2) a1, a2.

ВАРИАНТ 3

1.Показать, что умножение квадратных матриц второго порядка на матрицу M справа есть линейный оператор. Найти его матрицу в базисе связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru .

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

2.Пусть φ:L→L, dimL=2 – линейный оператор, имеющий в базисе g1=(1,2), g2=(2,3) матрицу М, а линейный оператор η:L→L в базисе u1=(3,1), u2=(4,2) задается матрицей N. Найти матрицы линейных операторов φ+η, φ•η в базисе g1, g2.

связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru .

3.Матрица М является матрицей линейного оператора φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3,

a=4e1–3e2+e3.

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

ВАРИАНТ 4

1.Дано преобразование φ линейного пространства A3, которое вектор x=(x1, x2, x3) переводит в вектор φx=(x1+x2+x3, 2x2, 3x1–x3). Доказать, что оно линейное, и найти его матрицы в базисах

1) e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1);

2) a1=(2,3,1), a2=(0,1,1), a3=(0,0,3).

2.Дана матрица А линейного преобразования φ пространства многочленов степени не выше 2 в базисе x2, x, 1. Найти образ вектора f(x)=x2–4x+3.

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

3.Преобразование φ в базисе a1=(-3,7), a2=(1,-2) имеет матрицу М, а преобразование ψ в базисе b1=(6,-7), b2=(-5,6) имеет матрицу N. Найти матрицу φ•ψ в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.

связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru .

ВАРИАНТ 5

1.Преобразование φ пространства многочленов степени не более 3 определяется следующим образом φ(ax3+bx2+cx+d)=ax3+bx2+cx. Доказать, что оно линейно и найти его матрицы в базисах:

1) x3, x2, x, 1;

2) x3, x2–3, x+1, 2.

2.Дана матрица A линейного преобразования φ арифметического трехмерного пространства A3 в базисе a1=(2,3,0), a2=(1,1,1), a3=(0,1,1). Найти:

1) образ вектора b=4a1+8a2–a3;

2) матрицу преобразования φ в базисе e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

3.Линейное преобразование φ в базисе e1, e2 имеет матрицу А. Найти матрицу преобразования φ в базисе a1=2e1+e2, a2=3e1+e2.

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

ВАРИАНТ 6

1.В пространстве многочленов степени не выше 3 дано преобразование, которое всякий многочлен a0+a1x+a2x2+a3x3 отображает в многочлен a0+a1x+a2x2. Доказать, что преобразование φ линейное и найти его матрицы в базисах:

1) 1, x, x2, x3;

2) 1+x, 2–x–x2, x2–1, 3x3.

2.Линейное преобразование φ в базисе a1=(1,2), a2=(2,3) имеет матрицу А. Линейное преобразование ψ в базисе b1=(3,1), b2=(4,2) имеет матрицу B. Найти матрицу преобразования φ•ψ в базисе a1, a2.

связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru .

3.Дана матрица M линейного преобразования φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3 и a=4e1+e2–e3.

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

ВАРИАНТ 7

1.В пространстве многочленов степени не выше 2 задан оператор φ такой, что φ(f(x))=f(x+1)–f(x). Доказать, что φ– линейный оператор, и найти его матрицы в базисах:

1) x2, x, 1;

2) x2+2, 3x–1, 3.

2.Пусть φ:L→L линейный оператор, в базисе g1=(1,2), g2=(2,3) имеющий матрицу М, а линейный оператор η:L→L в базисе u1=(3,1), u2=(4,2) задается матрицей N. Найти матрицы операторов φ–η, φ•η в базисе u1, u2.

связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru .

3.Дана матрица А линейного преобразования φ в базисе a1, a2, a3. Найти образы векторов a1, a2, a3, b=a1+2a3.

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

ВАРИАНТ 8

1.Найти матрицы оператора дифференцирования пространства многочленов степени не выше 2 в базисах:

1) 1, x, x2;

2) 1, x–1, (x–1)2/2.

2.Найти матрицу линейного преобразования трехмерного пространства A3, переводящего векторы a1=(2,3,5), a2=(0,1,2), a3=(1,0,0) соответственно в векторы b1=(1,1,1), b2=(1,1,-1), b3=(2,1,2), в том базисе, в котором заданы векторы.

3.Дана матрица М линейного преобразования φ в базисе e1, e2. Найти матрицу преобразования φ в базисе a1=3e1–e2, a2=e1+e2.

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

ВАРИАНТ 9

1.Дан базис e1, e2, e3, e4 линейного пространства L, линейный оператор φ:L→L такой, что φe1=e1+e2, φe2=e2+e3, φe3=e3+e4, φe4=e4+e1. Доказать, что векторы g1=φe1–φe2, g2=φe2–φe3, g3=φe1+φe3, g4=e4 образуют базис пространства L, и написать матрицу оператора φ в базисе g1, g2, g3, g4.

2.Пусть линейное преобразование φ в базисе a1=(0,1), a2=(1,1) имеет матрицу M, линейное преобразование ψ в базисе b1=(1,3), b2=(2,4) имеет матрицу N. Найти матрицу преобразования φ•ψ в базисе a1, a2.

связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru .

3.Матрица C является матрицей линейного преобразования φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=e1+3e2–5e3.

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

ВАРИАНТ 10

1.В линейном пространстве L даны базис e1, e2, e3 и линейный оператор φ:L→L такой, что φe1=e1+e2, φe2=e1+e3, φe3=e3+e2. Доказать, что векторы g2=φe2, g3=φe3, g1=φe1 образуют базис в L, и написать матрицы оператора в базисах:

1) e1, e2, e3;

2) g1, g2, g3.

2.Составить матрицы линейного оператора φ линейного пространства А3, переводящего векторы x1=(0,0,1), x2=(0,0,1), x3=(1,1,1) соответственно в векторы y1=(2,3,5), y2=(1,0,0), y3=(0,1,-1) в базисах:

1) e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1);

2) x1, x2, x3.

3.Линейное преобразование φ в базисе e1, e2 имеет матрицу М. Найти образы векторов e1, e2, a=3e1+5e2.

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

ВАРИАНТ 11

1.В линейном пространстве А3 задан оператор φ такой, что для вектора x=(x1, x2, x3) φx=(x2+x3, 2x1–x2, x1+x3). Доказать, что φ – линейный оператор, и найти его матрицы в базисах:

1) e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1);

2) a1=(1,1,0), a2=(2,1,3), a3=(1,1,1).

2.В пространстве многочленов степени не выше 3 даны два оператора:

1) φ: φ(f(x))=f ‘(x);

2) ψ: ψ(ax3+bx2+cx+d)=ax3+bx2+cx.

Найти матрицу оператора φ•ψ в базисе x3, x2, x, 1.

3.Матрица М является матрицей линейного преобразования φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=3e1–2e2+e3.

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

ВАРИАНТ 12

1.Проверить, что транспонирование квадратных матриц второго порядка есть линейный оператор. связь координат вектора и его образа - student2.ru .

Найти матрицу этого оператора в базисе

связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru .

2.Линейное преобразование φ: L→L в базисе e1, e2 имеет матрицу М. Найти его матрицу в базисе a1=e1+2e2, a2=2e2+3e3.

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

3.Линейное преобразование φ: L→L переводит векторы a1=(2,0,3), a2=(4,1,5), a3=(3,1,2) соответственно в векторы b1=(1,2,-1), b2=(4,5,-2), b3=(1,1,1). Найти матрицу этого преобразования в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.

ВАРИАНТ 13

1.Доказать, что преобразование φ линейного пространства А3, переводящее вектор x=(x1, x2, x3) в вектор φx=(x1+x2, x2+3x3, 3x3), является линейным. Найти матрицы преобразования φ в базисах:

1) e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1);

2) a1=(2,2,-1), a2=(1,1,0), a3=(3,0,0).

2.Матрица M является матрицей линейного преобразования φ в базисе a1=(1,2), a2=(3,0). Матрица N является матрицей линейного преобразования ψ в базисе e1=(1,0), e2=(0,1). Найти матрицы преобразований φ+ψ и φ•ψ в базисе a1, a2.

связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru .

3.Матрица А является матрицей линейного преобразования φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, x=3e1+2e2+e3.

связь координат вектора и его образа - student2.ru .

ВАРИАНТ 14

1.В пространстве многочленов степени не выше 2 дано преобразование φ такое, что φ(ax2+bx+c)=ax2+bx. Доказать, что φ – линейное преобразование, и найти его матрицы в базисах:

1) x2, x, 1;

2) x2+2x–1, x–1, 2.

2.Линейный оператор φ в базисе a1=(3,1), a2=(4,2) имеет матрицу M, линейный оператор ψ в базисе b1=(1,2), b2=(2,3) имеет матрицу N. Найти матрицы операторов φ+ψ, φ•ψ в базисе b1, b2.

связь координат вектора и его образа - student2.ru , связь координат вектора и его образа - student2.ru .

3.Линейный оператор φ переводит векторы a1=(1,2),

a2=(2,-1) соответственно в векторы b1=(3,1), b2=(2,1).

Найти матрицу оператора φ в том базисе, в котором даны

координаты всех векторов.

Лабораторная работа 11

Наши рекомендации