Теорема. (Достаточные условия экстремума)

Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru - максимум, если Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru - минимум.

2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Условный экстремум.

Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

j(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.

Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи.

Тогда u = f(x, y(x)).

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

В точках экстремума:

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru =0 (1)

Кроме того:

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru (2)

Умножим равенство (2) на число l и сложим с равенством (1).

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент l так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

Выражение u = f(x, y) + lj(x, y) называется функцией Лагранжа.

Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Таким образом, функция имеет экстремум в точке Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

Производная по направлению.

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Проведем через точки М и М1 вектор Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусамивектора Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru .

Расстояние между точками М и М1 на векторе Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru обозначим DS.

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru z

M

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

M1

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

y

x

Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru ,

где величины e1, e2, e3 – бесконечно малые при Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru .

Из геометрических соображений очевидно:

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru ;

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru .

Из этого уравнения следует следующее определение:

Определение: Предел Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ruв точке с координатами ( x, y, z).

Поясним значение изложенных выше равенств на примере.

Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru . В (3, 0).

Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru .

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru .

Далее определяем модуль этого вектора:

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru = Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Находим частные производные функции z в общем виде:

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Значения этих величин в точке А : Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Для нахождения направляющих косинусов вектора Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru производим следующие преобразования:

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru = Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

За величину Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru :

cosa = Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru ; cosb = - Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Окончательно получаем: Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru - значение производной заданной функции по направлению вектора Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru .

Градиент.

Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru ,

то этот вектор называется градиентомфункции u.

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.

Связь градиента с производной по направлению.

Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru .

Тогда производная Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru по направлению некоторого вектора Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru равняется проекции вектора gradu на вектор Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru .

Доказательство: Рассмотрим единичный вектор Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru и gradu.

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.

Т.е. Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru . Если угол между векторами gradu и Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru обозначить через j, то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:

Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru

Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора gradu на вектор Теорема. (Достаточные условия экстремума) - student2.ru .

Теорема доказана.

Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.

Наши рекомендации