Определение и смысл производной

Задачи, приводящие к понятию производной

I Задача о касательной

Определение. Касательной к линии L в ее точке М₀ называется предельное положение секущей M₀M, когда точка M вдоль линии L стремится произвольным образом к совпадению с точкой M₀.

Чтобы придать математическую строгость этому определению, будем считать, что линия L – это график некоторой функции .

Пусть – фиксированная точка графика, а –текущая точка. Обозначим . Стремление точки M к М₀ равносильно или . Через точку М₀ проходит много прямых, все они отличаются друг от друга угловыми коэффициентами. Касательная к графику в точке М₀ – это та прямая, угловой коэффициент которой есть предел углового коэффициента

секущей M₀M при :

II Задача о скорости

Пусть по прямой, на которой выбраны начало отсчета, единица измерения и направление, движется точка по закону ( – это координата точки на прямой в момент времени t ). Важной характеристикой движения является скорость. Для равномерного движения (т.е. движения с постоянной скоростью) можно взять произвольный промежуток времени и разделить пройденный путь на длительность промежутка времени, т.е. на . Именно потому, что скорость постоянная, полученный ответ не будет зависеть ни от , ни от .

В общем случае движения с переменной скоростью отношение есть не что иное как средняя скорость движения за промежуток . Средняя скорость тем лучше характеризует движение, чем меньше длительность . Устремляя к нулю, мы и получим мгновенную скорость .

Замечание. Две различные задачи, рассмотренные выше, привели в процессе решения к одному и тому же результату – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю. Имеется много задач в самой математике и в ее приложениях, которые приводят к необходимости вычисления таких пределов.

Определение и смысл производной

Рассмотрим функцию , определенную в точке и в некоторой ее окрестности. Придадим аргументу x приращение , не выводящее аргумент за пределы окрестности. Функция получит приращение .

Определение. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при (если этот предел существует) обозначается и называется производной функции по переменной в x точке x₀.

Итак, по определению

.

Из определения следует, что производная – это число. Однако чаще всего оказывается, что это число можно вычислить не только в одной точке x₀, а во всех точках некоторого интервала. Тем самым на этом интервале определяется некоторая новая функция, которая тоже называется производной функции и обозначается: . Кроме этих обозначений используются и другие:

– производная как функция (читается “дэ игрек по дэ икс”),

– производная в фиксированной точке x₀.

Сравнивая результаты, полученные в §1, с определением производной, можно придать производной смысл:

1) если – закон движения, то ;

2) – это угловой коэффициент (тангенс угла наклона к оси Ox) касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀.

Используя 2) легко написать уравнение касательной:

и нормали, т.е. прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно касательной:

.

Пример. Вычислить (по определению) производную функции .

Замечание 1. Производную удобно понимать как скорость изменения функции относительно аргумента x.

Замечание 2.Отношение приращения функции к приращению аргумента называют разностным отношением функции.