Определение и смысл производной

Рассмотрим функцию Определение и смысл производной - student2.ru , определенную в точке Определение и смысл производной - student2.ru и в некоторой ее окрестности. Придадим аргументу x приращение Определение и смысл производной - student2.ru , не выводящее аргумент за пределы окрестности. Функция получит приращение Определение и смысл производной - student2.ru .

Определение. Предел отношения приращения функции Определение и смысл производной - student2.ru к приращению аргумента Определение и смысл производной - student2.ru при Определение и смысл производной - student2.ru (если этот предел существует) обозначается Определение и смысл производной - student2.ru и называется производной функции Определение и смысл производной - student2.ru по переменной в x точке x0.

Итак, по определению

Определение и смысл производной - student2.ru .

Из определения следует, что производная – это число. Однако чаще всего оказывается, что это число можно вычислить не только в одной точке x0, а во всех точках некоторого интервала. Тем самым на этом интервале определяется некоторая новая функция, которая тоже называется производной функции Определение и смысл производной - student2.ru и обозначается: Определение и смысл производной - student2.ru . Кроме этих обозначений используются и другие:

Определение и смысл производной - student2.ru – производная как функция (читается “дэ игрек по дэ икс”),

Определение и смысл производной - student2.ru – производная в фиксированной точке x0.

Сравнивая результаты, полученные в §1, с определением производной, можно придать производной смысл:

1) если Определение и смысл производной - student2.ru – закон движения, то Определение и смысл производной - student2.ru ;

2) Определение и смысл производной - student2.ru – это угловой коэффициент (тангенс угла наклона к оси Ox) касательной к графику функции Определение и смысл производной - student2.ru в точке с абсциссой x0.

Используя 2) легко написать уравнение касательной:

Определение и смысл производной - student2.ru

и нормали, т.е. прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно касательной:

Определение и смысл производной - student2.ru .

Пример. Вычислить (по определению) производную функции Определение и смысл производной - student2.ru .

Определение и смысл производной - student2.ru

Замечание 1. Производную Определение и смысл производной - student2.ru удобно понимать как скорость изменения функции Определение и смысл производной - student2.ru относительно аргумента x.

Замечание 2.Отношение приращения функции Определение и смысл производной - student2.ru к приращению аргумента Определение и смысл производной - student2.ru называют разностным отношением функции.

Наши рекомендации