Смешанного умножения векторов
Г10. , , компланарны.
Пусть . Тогда .
По определению векторного произведения и .
Следовательно, векторы , , параллельны плоскости, перпендикулярной вектору (рис. 24),т.е. векторы , , компланарны.
Обратно, пусть векторы , и компланарны. Тогда существует плоскость , которой они параллельны.
, Þ , а так как || , то Þ ,
т.е. .
Г20 (геометрический смысл модуля смешанного произведения). Если векторы , , некомпланарны, то абсолютная величина их смешанного произведения равна объему V параллелепипеда с ребрами , , , отложенными от одной точки; , если тройка , , - правая, , если тройка , , - левая.
Пусть векторы , , отложены от точки О (рис. 25).
. Пусть .
Построим на векторах , , параллелепипед. За основание этого параллелепипеда примем параллелограмм со сторонами и (рис. 26).
Пусть n – луч, перпендикулярный основанию параллелепипеда и лежащий в том же полупространстве, что и вектор . Пусть h – высота параллелепипеда.
а) Если тройка , , ориентирована так же, как базис , , , то (рис. 26, а) Þ < 900 Þ cos >0 Þ Þ Þ .
Итак, .
б) Если тройка , , ориентирована противоположно базису , , , то (рис. 26, б) Þ > 900 Þ Þ Þ .
Итак, .
Из пунктов а) и б) следует, что .
Алгебраические свойства
Смешанного умножения векторов
А10. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанного произведения, т.е. V.
Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак смешанного произведения на противоположный, т.е.
, V.
Для доказательства достаточно применить доказательство свойства Г20 к и к . Параллелепипед будет тот же, только за основание будет принята другая грань (в первом случае – построенная на векторах и , во втором – на векторах и ).
Чтобы доказать вторую часть свойства, надо воспользоваться определением смешанного произведения и свойством А10 векторного умножения, а затем совершить циклическую перестановку:
.
А20. V .
Для доказательства этого свойства нужно доказать три равенства:
; ; .
Докажите их самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.
А30. ;
;
.
Докажите эти равенства самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.
Замечание. Смешанное произведение .
, т.к. .
Теорема 1(смешанное произведение в координатах). Если , , в базисе , , , то .
.
Применение смешанного произведения
Трех векторов
Смешанное произведение векторов применяется:
1. Для выяснения компланарности трех векторов:
векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда .
2. Для вычисления объема параллелепипеда: (рис. 27).
3. Для вычисления объема треугольной призмы:
(рис. 28).
4. Для вычисления объема тетраэдра (треугольной пирамиды):
(рис. 29).