Способы задания функции

Существует несколько способов задания функции.

Табличный. Используется тогда, когда область определения состоит из

конечного множества чисел. Тогда для задания функции проще всего указать

таблицу, содержащую значения аргумента и соответствующие значения

функции. Например, таблица логарифмов. Другим примером могут быть

таблицы, содержащие данные о числе жителей, населяющих земной шар в

отдельные годы, расписания движения поездов и т.п.

Аналитический. При аналитическом способе задания функция может

быть задана явно, когда дано выражение у через x, т.е. формула имеет вид

y  f (x) ; неявно, когда х и у связаны между собой уравнением вида F(x, y)  0 ;

параметрически, когда соответствующие друг другу значения х и у выражены

через третью переменную величину t, называемую параметром.

Логический. Если функция описывается правилом ее составления,

например, функция Дирихле: f(x)= 1, если x – рациональное; f(x)= 0, если x –

иррациональное.

Графический. Состоит в изображении графика функции – множества

точек (x, y) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента x, а

ординаты – соответствующие им значения функции y  f (x) . Преимуществом

графического задания является его наглядность, недостатком – его

неточность.

32.

Определение элементарной функции.

Функции, которые могут быть получены из основных элементарных функций посредством арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и образования сложных функций, называютсяэлементарными функциями.

Примером может являться функция

Очень удобно классификацию элементарных функций представить в виде таблицы.

• Элементарные функции

• Трансцендентные

• Алгебраические

• Иррациональные

• Рациональные

• Целые рациональные

• Дробные рациональные

Элементарные функции подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Определениеалгебраических функций.

Алгебраическими называют функции, составленные из букв и цифр, соединенных знаками действий сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень и извлечение корня.

Другими словами: алгебраическими называют элементарные функции, которые могут быть получены из двух основных функций f(x)=x и f(x)=1 при помощи любого числа последовательно выполненных алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня) и умножения на числовые коэффициенты.

Например, функция является алгебраической.

Определение трансцендентной функции.

Трансцендентными называют элементарные функции, которые не являются алгебраическими. (То есть, они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций).

К примеру, - трансцендентная функция.

Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные .

Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) и дробные рациональные (отношение многочленов).

Пример целой рациональной функции: .

Пример дробно-рациональной функции: .

ПРИМЕЧАНИЕ:

Рациональные функции могут содержать и иррациональные коэффициенты (главное, чтобы под знаком радикала не было аргумента функции). Например, - целая рациональная функция, а не иррациональная.

Определение иррациональной функции.

Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).

Примером может являться функция .

ПРИМЕЧАНИЕ:

Если вид функции можно упростить на всей области определения, то классификации подлежит именно упрощенная функция.

К примеру, - не иррациональная функция, а рациональная, так как ;

- не трансцендентная функция, а рациональная алгебраическая, так как .

Понятие о сложной функции Пусть даны две функции z = f(y) и у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций f и g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу h(x) = f(g(x)) (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).

Пример. Функцию можно рассматривать как композицию функций и .

Для записи композиции функций употребляется значок . Например, запись означает, что функция h получена как композиция функций f и g (сначала применяется g, а затем f), т. е. . Операция образования сложной функции (или композиция функций) не обладает переместительным свойством: . Чтобы можно было вычислить сложную функцию h = f(g(x)), надо, чтобы число g(x), т. е. значение функции g, попадало в область определения функции f .

Пример. Вычисляя значения функции , необходимо брать только те числа х, для которых , т. е. те, для которых число попадает в область определения функции .

2. Взаимно обратные функции Пусть дана функция у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости у = f(x) можно переменную х однозначно выразить через переменную у. Выразив х через у, мы получим равенство вида х = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f. Если функция g является обратной для функции f, то и функция является обратной для функции g. Пару функций f и g называют взаимно обратными функциями.

33.

Последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров x₁,x₂,...x_n
Числа x₁,x₂,...,x_n — называются элементами последовательности, символ x_n — общим элементом, а число n — его номером. Сокращенно последовательность обозначается символом {x_n}.

Счетным множеством называется множество эквивалентное множеству натуральных чисел. Следовательно любая последовательность является счетным множеством.