Способы задания функции
Задать функцию – это значит указать правило, позволяющее по данному значению независимой переменной находить соответствующее значение функции.
Существует три основных способа задания функции: аналитический, табличный и графический.
Аналитический способ состоит в том, что зависимость между переменными величинами задается в виде формулы (аналитического выражения), указывающей, какие и в каком порядке действия надо выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента.
Например, 
; 
; 
, где 
.
Аналитический способ является наиболее совершенным, т.к. к нему могут быть применены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию.
Табличный способ предусматривает задание таблицы, в которой различным значениям аргумента 
поставлены соответствующие значения функции 
:
| х | х1 | х2 | … | хn |
| y | y1 | y2 | … | yn |
Такие таблицы составляются, например, по данным эксперимента; для облегчения вычислений с часто встречающимися функциями (таблицы логарифмов, таблицы тригонометрических функций и т.д.).
Графический способ задания функции состоит в том, что в данной системе координат задается некоторая кривая. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.
Основные элементарные функции
Основными элементарным функциями называются следующие функции:
1) Степенная функция
, 
.
2) Показательная функция
.
3) Логарифмическая функция
.
4) Тригонометрические функции
.
5) Обратные тригонометрические функции
.
Сложная функция
Из основных элементарных функций можно строить другие функции при помощи новой операции взятия функции от функции.
Пусть y является функцией от u, т.е. 
, а u, в свою очередь, зависит от переменной х, т.е. 
. Тогда y также зависит от х:
.
Функция называется сложной функцией, или функцией от функции, или суперпозицией функций.
Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции, а х – независимой переменной.
Операция взятия функции от функции может проводиться любое число раз. Например, функция 
есть суперпозиция трех функций 
, 
и 
.
Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.
Обратная функция
Определение.
Пусть функция 
, определена на множестве Х с областью значений Y. Если каждому 
соответствует единственное 
, при котором , то функция 
называется обратной (рис.1.3).
Рис. 1.3
Поскольку традиционно независимую переменную принято обозначать через х, а зависимую (функцию) – через y, то обратная функция для х примет вид: 
. Это соответствие часто записывают также в виде 
. 
следует воспринимать как символ для обозначения обратной функции, а не как 
. Например, для функции 
обратной функцией будет 
. В полученном выражении поменяем местами х и y, тогда 
– обратная функция.
Элементарные функции
Определение.
Функции, полученные из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа арифметических действий и конечного числа операций взятия функции от функции, называются элементарными функциями.
Например, 
; 
; 
; 
.
Элементарные функции делятся на алгебраические и трансцендентные.
К алгебраическим относятся следующие функции:
1) Целая рациональная функция или многочлен:
,
где 
– числа, называемые коэффициентами, 
степень многочлена.
Например, 
.
2) Дробная рациональная функция.
Эта функция является отношением двух многочленов:
.
Например, 
.
3) Иррациональная функция.
Например, 
; 
.
Функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.
Например, 
; 
; 
.