Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.

Для условно сходящихся рядов оказывается верным поразительный результат (теорема Римана): для любого числа , можно найти такой порядок членов условно сходящегося ряда, что этот ряд будет сходиться к числу S (т.е. сумма ряда будет равна S). Таким образом, перестановкой членов можно даже сделать сходящийся ряд расходящимся (если ).

Эти два утверждения мы примем без доказательства.

18.1.5.8. Умножение рядов.Пусть даны два ряда и . Под произведением рядов (А) и (В) понимается ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов рядов (А) и (В):

.

Оказывается, и здесь надо различать абсолютно и условно сходящиеся ряды. Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно к своим сумма и , то ряд (С) при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна . Для условно сходящихся рядов это утверждение несправедливо.

18.1.4. Знакопеременные ряды.Так мы будем называть ряды, которые содержат бесконечные множества как положительных, так и отрицательных членов. Естественно попытаться свести исследование сходимости таких рядов к исследованию сходимости рядов с положительными членами, для которых имеются рассмотренные выше тонкие признаки сходимости, поэтому введём понятие абсолютной сходимости.

18.1.4.1. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Рассмотрим, вместе с рядом , ряд, составленный из модулей членов ряда (А): . Докажем теорему: если сходится ряд (|A|), то сходится исходный ряд (А).

Доказательство. Пусть сходится ряд (|A|). Это – сходящийся ряд, поэтому множество его частичных сумм , ограничено. В частичной сумме исходного ряда отделим множества неотрицательных и отрицательных членов; неотрицательным членам припишем индекс , у отрицательных членов вынесем знак за скобку и их модулям припишем индекс : ; здесь символом обозначена сумма входящих в положительных членов, обозначает сумму модулей входящих в отрицательных членов, . Итак, . Очевидно, что . - ограниченное множество, поэтому . Но , . Суммы тоже возрастают с ростом n и ограничены сверху, поэтому существуют конечные пределы . Но , поэтому существует конечный предел , т.е. исходный ряд (А) сходится, что и требовалось доказать.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд абсолютных величин его членов. Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Доказанная теорема сводит исследование некоторых знакопеременных рядов к положительным рядам. Для знакопеременных рядов определённой структуры - знакочередующихся рядов - также существует достаточный признак сходимости.

Знакочередующиеся ряды.

Определение.Знакочередующимися называются ряды, члены которых поочерёдно то неотрицательны, то отрицательны.

Согласно этому определению, структура знакопеременных рядов такова:

, или , где все . Мы будем рассматривать первую из этих форм; вторая сводится к первой выносом знака за сумму.

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).Если

1. Последовательность, составленная из модулей членов знакочередующегося ряда, монотонно убывает, т.е. ;

2. Выполняется необходимый признак сходимости ряда, т.е. ,

то ряд сходится. Его сумма по абсолютной величине не превосходит абсолютную величину первого члена.

Доказательство. Рассмотрим последовательность чётных частичных сумм ряда. Представим эту сумму в виде . Из первого условия теоремы следует, что суммы в круглых скобках неотрицательны, поэтому последовательность монотонно возрастает с ростом n. С другой стороны, , т.е. эта последовательность ограничена сверху величиной . Следовательно . Но для нечётных сумм , так как по второму условию теоремы . Таким образом, частичные суммы имеют предел независимо от их четности или нечётности, т.е. ряд сходится, и его сумма . Знак суммы совпадает со знаком первого члена.

С помощью признака Лейбница доказывается сходимость рядов , . , и т.д. Третий из этих рядов сходится абсолютно ( сходится), остальные - условно (ряды из модулей членов расходятся). Естественно, существуют знакочередующиеся ряды, для которых условия теоремы Лейбница могут не выполняться; если не выполняется второе условие - необходимый признак сходимости - то ряд заведомо расходится; если не выполняется первое условие, то задача должна решаться с помощью других соображений. Рассмотрим, например, ряд Понятно, что первое условие теоремы Лейбница не выполняется (например, ), поэтому эта теорема неприменима и требуется изобрести индивидуальный способ решения этой задачи. Сгруппируем члены попарно: Сумма в скобке , поэтому последний ряд (со скобками) расходится. Последовательность чётных частичных сумм неограничена, поэтому исходный ряд расходится.

У теоремы Лейбница есть исключительно важный для приложений вывод - вывод о том, что сумма знакочередующегося ряда (или, как говорят, ряда лейбницевского типа) по модулю не больше модуля первого члена: . На нашем уровне нас интересует, в основном, вопрос о сходимости ряда, но при решении практических задач вслед за вопросом о сходимости ряда встаёт вопрос о нахождении его суммы. Основной метод суммирования рядов - вычисление его частичной суммы с количеством слагаемых, обеспечивающим заданную точность. Рассмотрим два примера: найти суммы рядов и с погрешностью, не превышающей . Оба ряда сходятся (пример 1 раздела 18.1.3.3.Признак сходимости Даламбера). Основная проблема здесь - найти, какое количество n слагаемых надо взять, чтобы частичная сумма отличалась от суммы ряда S не более, чем на . Так как , где - остаток ряда после n-го члена, и мы хотим принять , то должно быть . И здесь выясняется различие в технике оценки остатка для Лейбницевских рядов с одной стороны и произвольных рядов с другой стороны. Остаток знакочередующегося ряда - тоже знакочередующийся ряд, поэтому он подчиняется выводу теоремы Лейбница: . Другими словами, остаток знакочередующегося ряда по модулю не превосходит первый свой член (или первый отброшенный член ряда). Поэтому для первого из рассматриваемых рядов условие сводится к . Подбором убеждаемся, что первое значение n, для которого это условие выполняется, есть n =7 (7!=5040, 8!=40320), поэтому для нахождения суммы ряда с погрешностью, не превышающей величину , достаточно взять 7 слагаемых:

(при вычислениях с точностью до в промежуточных выкладках необходимо удерживать не меньше, чем 5 знаков после запятой. Дальше мы поймём, что вычислено значение с четырьмя верными цифрами после запятой).

Переходим ко второму ряду. Это знакопостоянный ряд, поэтому единственное, что мы можем сделать - напрямую оценить остаток ряда . Пока единственный ряд, для которого мы знаем выражение суммы - геометрическая прогрессия , поэтому надо в той или иной форме свести остаток к геометрической прогрессии. В данном случае это сделать просто: . Для каждого из слагаемых в круглой скобке верна оценка , поэтому . Ряд в круглых скобках - геометрическая прогрессия со знаменателем , его сумма равна , следовательно, . Теперь надо найти такое n, что . Перебором различных значений n убеждаемся, что и в этом случае можно взять n =7 (выражение равно 0,0002268 при n = 6 и 0,000028 при n = 8. Итак, . Это значение числа е с четырьмя верными цифрами после запятой.

18.1.5. Свойства сходящихся рядов и их сумм. В разделе 18.2. Свойства сходящихся рядов мы сформулировали и доказали некоторые из этих свойств. Напомним:

18.1.5.1. Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю: .

18.1.5.2. Если сходится ряд, то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

18.1.5.3. Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при .

18.1.5.4. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.

18.1.5.5.Два сходящихся ряда можно почленно складывать и вычитать, полученный ряд также сходится, и его сумма равна, соответственно, сумме или разности исходных рядов.

Сформулируем ещё несколько свойств сходящихся рядов.

18.1.5.6. Сочетательное свойство сходящегося ряда.Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом: (здесь - строго возрастающая последовательность натуральных чисел), и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.

Доказательство.Последовательность частичных сумм нового ряда является подпоследовательностью последовательности частичных сумм исходного ряда и сходится к той же сумме.

Все сформулированные свойства полностью аналогичны свойствам конечных сумм, хотя и здесь есть свои тонкости. Так, для конечных сумм можно не только расставлять, но и раскрывать скобки; при этом сумма не меняется. Для рядов это неверно. Пример: если в сходящемся ряде 0+0+0+…+0+… = (1-1) + (1-1)+(1-1)+….+(1-1)+… раскрыть скобки, то получится расходящийся ряд 1-1+1-1+1-1+… . Конечно, если после раскрытия скобок получится сходящийся ряд, его сумма будет такой же, как и у ряда со скобками; это следует из доказанного сочетательного свойства.

18.1.5.7. Переместительное свойство ряда. Ещё больше отличаются поведение конечных сумм и рядов по отношению к переместительному свойству, т.е. к перестановке слагаемых. Если для конечных сумм результат не зависит от порядка слагаемых, то для рядов это не всегда верно. Ряд условно сходится, обозначим его сумму S: . Умножим этот ряд на . Запишем этот ряд так: Почленно сложим этот ряд и ряд S:

. Итак, . Этот ряд отличается от ряда S только порядком слагаемых, однако его сумма в полтора раза больше.

На перестановку членов резко по разному реагируют абсолютно и условно сходящиеся ряды.