Геометрическое решение игры в смешанных стратегиях (nх2).

В общем случае схема решения игры 2xn или nx2 графическим методом состоит в следующем.

1. Строят прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока.

2. Находят две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствуют две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой. Эти стратегии являются активными в оптимальной смешанной стратегии второго (первого) игрока.

3. Находят координаты точки пересечения, тем самым определяя оптимальную стратегию первого (второго) игрока и цену игры.

4. Оптимальную стратегию другого игрока находят, решая систему уравнений, включающую его активные стратегии. На плоскости XY по оси абсцисс отложим единичный отрезок A₁A₂ (рисунок 5.1). Каждой точке отрезка поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию U = (u₁, u₂). Причем расстояние от некоторой промежуточной точки U до правого конца этого отрезка – это вероятность u₁выбора стратегии A₁, расстояние до левого конца - вероятность u₂ выбора стратегии A₂. Точка А₁ соответствует чистой стратегии А₁, точка А₂ – чистой стратегии А₂.

В точках А₁ и А₂ восстановим перпендикуляры и будем откладывать на них выигрыши игроков. На первом перпендикуляре (совпадающем с осью OY) покажем выигрыш игрока А при использовании стратегии А₁, на втором – при использовании стратегии A₂. Если игрок А применяет стратегию A₁, то его выигрыш при стратегии B₁ игрока B равен 2, а при стратегии B₂ он равен 5. Числам 2 и 5 на оси OY соответствуют точки B₁и B₂. Аналогично на втором перпендикуляре найдем точки B^'₁ и B^'₂ (выигрыши 6 и 4).

Соединяя между собой точки B₁ и B^'₁, B₂ и B^'₂, получим две прямые, расстояние от которых до оси OX определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий.

Например, расстояние от любой точки отрезка B₁B^'₁ до оси OX определяет средний выигрыш игрока A при любом сочетании стратегий A₁ и A₂(с вероятностями u₁ и u₂) и стратегии B₁ игрока B.

Рисунок 5.1 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.3 (нахождение оптимальной стратегии игрока А)

Ординаты точек, принадлежащих ломаной B₁MB^'₂ определяют минимальный выигрыш игрока A при использовании им любых смешанных стратегий. Эта минимальная величина является наибольшей в точке М, следовательно, этой точке соответствует оптимальная стратегия U^* = ( , ), а ее ордината равна цене игры v.

Координаты точки M найдем, как координаты точки пересечения прямых B₁B^'₁ и B₂B^'₂.

Для этого необходимо знать уравнения прямых. Составить такие уравнения можно, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки:

Составим уравнения прямых для нашей задачи.

Прямая B₁B^'₁:

= или y = 4x + 2.

Прямая B₂B^'₂:

= или y = -x + 5.

Получим систему:

y = 4x + 2, y = -x + 5.

Решим ее:

4x + 2 = -x + 5, 5x = 3, x = 3/5, y = -3/5 + 5 = 22/5.

Таким образом, U^* = (2/5, 3/5), v = 22/5.

Аналогично решается задача по нахождению оптимальной стратегии игрока B. Разница состоит в том, что находится точка, сводящая к минимуму средний проигрыш, поэтому на рисунке 5.2 рассматривается ломаная A₂MA^'₁.

Рисунок 5.2 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.3 (нахождение оптимальной стратегии игрока B)

Найдем координаты точки М.