Основные правила дифференцирования
Теорема 1. Если функции и дифференцируемы в данной точке, то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:
.
Формула обобщается на случай любого конечного числа слагаемых.
Теорема 2. Если функции и дифференцируемы в данной точке х, то в этой же точке дифференцируемо и их произведение, при этом:
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
, где .
Теорема 3. Если в данной точке х функции и дифференцируемы и , то в той же точке дифференцируемо и их частное, причем
.
Обратная функция и ее производная
Рассмотрим функцию y = f (x) с областью определения (a, b) и множеством значений (c, d). Пусть эта функция такова, что всякая прямая, проходящая через точку интервала (c, d) параллельно оси Ох, пересекает ее график только в одной точке, т.е. уравнение y = f (x) для каждого y (c, d) определяет единственное значение x (a, b). В этом случае каждому значению y (c, d) соответствует единственное значение x (a, b), т.е. на интервале (c, d) задана функция, множество значений которой есть интервал (a, b). Эта функция называется обратной по отношению к функции y = f (x) и обозначается . Очевидно, что для функции обратной является функция . Поэтому обе эти функции называются взаимно обратными.
Теорема. Если функция y = f (x) монотонна и дифференцируема в некотором интервале и имеет в точке x этого интервала производную , не равную нулю, то обратная функция в соответствующей точке y имеет производную, причем или иначе .
Производная сложной функции
Если и , то есть сложная функция независимого аргумента x с промежуточным аргументом u.
Теорема. Если имеет производную в точке x, а функция имеет производную в соответствующей точке u, то сложная функция в данной точке x имеет производную , которая находится по следующей формуле .
Часто пользуются следующей формулировкой этой теоремы: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по независимому аргументу.
Сложная функция может быть составлена не из двух функций, а из большого их числа. В таких случаях теорема применяется последовательно несколько раз.
В частности, если функция такова, что , , , то производная находится по формуле .
Производные основных элементарных функций.
Таблица производных
Используя определение производной, можно найти производные основных элементарных функций.
1. Производная степенной функции .
2. Производная показательной функции .
В частности, .
3. Производная логарифмической функции , , . В частности, .
4. Производные тригонометрических функций , , , .
Найдем, например, производную функции . По определению производной имеем:
.
Производную функции можно найти по правилу дифференцирования частного двух функций:
.
5. Производные обратных тригонометрических функций , .
Найдем, например, производную функции . Функция , обратная к функции , . По правилу дифференцирования обратной функции . На интервале имеем .
Запишем таблицу производных для где .
1. | 8. |
2. | 9. |
3. | 10. |
4. | 11. |
5. | 12. |
6. | 13. |
7. | 14. |
Применяя формулы и правила дифференцирования, найдем производные следующих функций:
1) .
Применим правило дифференцирования произведения двух функций:
.
2) .
Применим правило дифференцирования частного двух функций:
.
3) .
Применим правило дифференцирования сложной функции:
.