Взаимное расположение прямых. Нахождение общих точек
Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
Нормальное уравнение прямой
Пусть прямая определяется заданием p и α (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде
т.е. 
 |
Следовательно, уравнение (10.10) прямой в прямоугольной системе координат примет вид (10.11)
| О |
| х |
| у |
| p |
| α |
| Рис. 45 |
Покажем, как привести уравнение (10.4) прямой к виду (10.11).
Умножим все члены уравнения (10.4) на некоторый множитель 
. Получим 
Это уравнение должно обратиться в (10.11). Следовательно, должны выполняться равенства: 
Из первых двух равенств находим 
,т.е.
Множитель 
называется нормирующим множителем. Согласно третьему равенству 
знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.
Пример 10.2. Привести уравнение 
к нормальному виду.
Решение: Находим нормирующий множитель 
Умножая данное уравнение на , получим искомое нормальное уравнение прямой: 
| О |
 О |
 О |
 О |
 О |
 О |
 О |
 О |
| Рис. 47. |
Пусть заданы прямая L уравнением 
и точка 
(см. рис. 47). Требуется найти расстояние от точки 
до прямой L.
Решение: Расстояние d от точки 
до прямой L равно модулю проекции вектора 
, где 
– произвольная точка прямой L, на направление нормального вектора 
. Следовательно,
 |
Так как точка 
принадлежит прямой L, то 
, т.е. 
Поэтому
(10.13)
что и требовалось получить.
Пример 10.3. Найти расстояние от точки 
до прямой 
Решение: По формуле (10.13) получаем 
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пусть прямые 
и 
заданы уравнениями с угловыми коэффициентами 
и 
(см. рис. 46).
Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в положительном направлении прямую вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой .
| О |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
| Рис. 46. |
Решение: Имеем 
(теорема о внешнем угле треугольника) или 
Если 
, то 
 |
, поэтому (10.12)
откуда легко получим величину искомого угла.
Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая – второй, то правая часть формулы (10.12) берется по модулю, т.е. 
Если прямые и параллельны, то 
и 
. Из формулы (10.12) следует 
, т.е. 
. И обратно, если прямые и таковы, что 
, то , т.е. прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: 
.
Если прямые и перпендикулярны, то 
. Следовательно, 
. Отсюда 
, т.е. 
(или 
). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство .
Взаимное расположение прямых. Нахождение общих точек.
Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.
1. Пересекающиеся прямые
Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку.
Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).
.
Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые
2. Параллельные прямые
На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).
Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.
3.Скрещивающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.
На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4).
.
Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых Рис. 3.6. Скрещивающиеся прямые
.