Угол между прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности прямых

Векторы. Основные операции над векторами.

Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости.

Векторы обычно обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками.

Сверху обычно ставят чёрточку. Например, вектор, направленный из точки A к точке B, можно

обозначить или . Векторы и называются противоположными.

Нулевой вектор - это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают.

Длина (модуль) вектора - это длина отображающего его отрезка AB, обозначается | a |.

=

Векторы называются коллинеарными, если их направленные отрезки лежат на параллельных

прямых. Обозначаются: a || b.

Три и более векторов называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Векторы наз-ся равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и напрвление.

Линейные операции над векторами:

1.Сложение векторов. Суммой векторов ( ; ) и ( ; ) называется вектор ( + ; + ) ,

Правило треугольника: Надо от конца вектора отложить вектор, равный вектору .

Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора ,

будет суммой векторов и .

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю

параллелограмма, построенного на этих векторах.

Законы сложения.

I. a + b = b + a ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон ) III. a + 0 = a .

II. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( С о ч е т а т е л ь н ы й закон ).

IV. a + (– a ) = 0 .

2.Вычитание векторов. Разностью векторов ( ; ) и ( ; ) называют

такой вектор ( ),

который в сумме с вектором дает вектор .

Правило треугольника. Чтобы найти разность двух векторов, нужно: изобразить их исходящими

из одной точки; дополнить чертеж отрезком так, чтобы получился треугольник; придать отрезку

направление от вычитаемого к уменьшаемому; этот направленный отрезок и будет вектором

разности.

3.Умножение вектора на число. Произведением вектора на число называется вектор

такой что = и =

Законы умножения вектора на число.

I. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m · 0 = 0 , ( –1 ) · a = – a . II. m a = a m , | m a | = | m | · | a | .

III. m ( n a ) = ( m n ) a . ( С о ч е т а т е л ь н ы й закон умножения на число ).

IV. ( m + n ) a = m a + n a , ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й

m ( a + b ) = m a + m b . закон умножения на число ).

Простейшие задачи на плоскости.

Найти расстояние на плоскости между 2мя точками :

-

евклидовое расстояние

Найти координаты точки, делящей заданный отрезок в заданном отношении :

Если и - координаты точки A,

а и - координаты точки B, то

координаты x и y точки C, делящей

отрезок AB в отношении ,

определяются по формулам:

Если т. С яв-ся серединой отрезка, то С

Угол между прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности прямых.

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловым коэффициентом y= и

Здесь и - углы наклона прямых L₁ и L₂ к оси Ox, а - один из углов между этими прямыми. Из рисунка видно, что .

Отсюда

.

Т.е. угол между прямыми L₁ и L₂ определяется по формуле:

Прямые параллельны, если tg = 0, т.е. k₁ = k₂ .

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ получим из формулы ,т.к. tg не существует при k₁ k₂ + 1 = 0.

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ запишем в виде:

.